2016-2017学年高中数学第四章函数应用4.1.2利用二分法求方程的近似解高效测评北师大版必修1一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析:二分法的理论依据是零点定理,必须满足零点两侧函数值异号才能求解.而图B零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.答案:B2.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法中正确的是()A.函数f(x)在区间内一定有零点B.函数f(x)在区间或内有零点,或零点是C.函数f(x)在内无零点D.函数f(x)在区间或内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在或中或f=0.答案:B3.设函数y=x3与y=的图像交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:令f(x)=x3-,f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,∴f(1)·f(2)<0,∴x0∈(1,2).答案:B4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5解析:由表知f(1.438)>0,f(1.4065)<0且在[1.4065,1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4,则方程的近似根为1.4.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5.求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是________.解析:f(x)=x3-2x-5,f(2)<0,f(3)>0,f(2.5)>0,则f(2)·f(2.5)<0,即下一个有根区间是(2,2.5).答案:(2,2.5)6.已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,对于方程式f(x)=0根的情况,以下说法正确的是________.(填上正确的序号)①有三个实根;②当x<-1时,恰有一实根;③当-11时,恰有一实根.解析:函数f(x)的图像可由y=x(x-1)(x+1)的图像向上平移0.01个单位长度即可,如图所示.由图像易知方程f(x)=0有三个实根,当x<-1时,恰好有一根;当-11时,没有实根.所以只有①②正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)7.用二分法求方程lnx=在[1,2]上的近似解,取中点c=1.5,求下一个有根区间.解析:令f(x)=lnx-,f(1)=-1<0,f(2)=ln2-=ln>ln1=0,f(1.5)=ln1.5-=(ln1.53-2).因为1.53=3.375,e2>4>1.53,故f(1.5)=(ln1.53-2)<(lne2-2)=0,f(1.5)f(2)<0,下一个有根区间是[1.5,2].8.求出函数F(x)=x5-x-1的零点所在的大致区间.解析:函数F(x)=x5-x-1的零点即方程x5-x-1=0的根.由方程x5-x-1=0,得x5=x+1,令f(x)=x5,g(x)=x+1.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)与g(x)的图像如图,显然它们只有1个交点.两函数图像交点的横坐标就是方程的解.又F(1)=-1<0,F(2)=29>0,∴函数的零点在区间(1,2)内.☆☆☆9.(10分)证明:方程6-3x=2x在区间[1,2]内只有一个实数解,并求出这个实数解.(精确到0.1)证明:设函数f(x)=2x+3x-6.∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)=2x+3x-6在R上是增函数,∴函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一的实数解.取区间[1,2]的中点x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)=-1<0,∴函数f(x)=2x+3x-6的零点在区间[1,1.5]内;取区间[1,1.5]的中点x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,∴函数f(x)=2x+3x-6的零点在区间[1,1.25]内;取区间[1,1.25]的中点x3=1.125,f(1.125)≈-0.44<0,∴函数f(x)=2x+3x-6的零点在区间[1.125,1.25]内;再取区间[1.125,1.25]的中点x4=1.1875,可得f(1.1875)≈-0.16<0.∴函数f(x)=2x+3x-6的零点在区间[1.1875,1.25]内.∵|1.25-1.1875|=0.0625<0.1,∴方程的近似实数解为1.2.