专练51高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．[2020·全国卷Ⅰ]已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．3.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．5．[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．专练51高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1.解析：(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则AG＝(a,1)，GB＝(a，－1)．由AG·GB＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－30，①由根与系数的关系得又由N为线段CD的中点得＝－＝，解得k＝－1，将k＝－1代入①中可知满足条件．此时直线l的方程为y－1＝－1×，即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.4．解析：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.5．解析：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)或＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线为x＝－c.由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x.
