课时跟踪检测(四)基本不等式一、题点全面练1．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为()A.B.C．－1D．0解析：选Df(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.2．(2018·哈尔滨二模)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：选D由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4解析：选C因为＋＝，所以a>0，b>0，由＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.4．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.B.C．1D．2解析：选C由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以解得a＝1，故选C.5．(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，(lg2)x＋(lg8)y＝lg2，则＋的最小值是________．解析：因为(lg2)x＋(lg8)y＝lg2，所以x＋3y＝1，则＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故＋的最小值为4.答案：46．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.答案：137．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设00，∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)∵00，∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是()A.≥B.＋≥2C.≥2D．(a＋b)≥4解析：选C由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．∵－2＝＝＝≥0，∴≥2.2．函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．解析：∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋2，＋∞)．答案：[1＋2，＋∞)(二)素养专练——学会更学通3．[数学建模]高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低．设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在()A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼解析：选B由题意知，同学们总的不满意度y＝n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．4．[数学运算]已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.
