高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第11讲 变化率与导数、导数的计算知能训练轻松闯关 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

第11讲变化率与导数、导数的计算1．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是()A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：选B.因为y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以y′|x＝1＝2cos1－sin1.2．(2016·赣州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.D．2解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2016)＝()A．1B．2C.D.解析：选D.令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2016)＝＋1＝.4．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．2B．－2C.D．－解析：选D.由已知条件f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，知f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，令x＝2，则f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，即2f′(2)＝－，所以f′(2)＝－.5.已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()1解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．6．(2016·大连高三联考)已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是()A.B.C.D.解析：选B.因为直线m的斜率为－，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cosa且y′|x＝a＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得a＝＋2kπ(k∈Z)，所以b＝＋6kπ(k∈Z)，所以P(k∈Z)，当k＝0时，P，故选B.7．函数y＝的导数为________．解析：y′＝＝.答案：8．(2015·高考陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.答案：y＝－9．(2016·郑州第二次质检)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．解析：由图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.答案：010．(2016·保定一模)函数f(x)＝lnx＋ax的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．2解析：函数f(x)＝lnx＋ax的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)11．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解：(1)因为y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，所以斜率最小的切线过，斜率k＝－1，所以斜率最小的切线方程为x＋y－＝0.(2)由(1)得k≥－1，所以tanα≥－1，所以α∈∪.1．(2014·高考陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3xC．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x解析：选A.设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0，0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排除选项B、D.又因为y＝3x－6是该函数在点(2，0)处的切线，则y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A选项的函数符合，故选A.2．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标...