3.7正弦定理和余弦定理的应用[课时跟踪检测][基础达标]1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处．则这只船的航行速度为()A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：如图，在△PMN中＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝(海里/时)．答案：A2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB．6km/hC．2km/hD．10km/h解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.答案：B3．(2017届广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD．m解析：由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．故选A.答案：A4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．1米解析：如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．答案：C5．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.答案：C6．(2017届湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5B．15C．5D．15解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.答案：D7．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.mB．mC.mD．m解析：如图所示，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝＝. ∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，＝.∴DC＝＝＝(m)．答案：A8．(2017届潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知＝，∴AC＝·sin∠CEA＝20m.∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30m. 国歌时长为50s，∴升旗速度为＝0.6m/s.答案：0.69．如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________.解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以＝－，所以3b2－a2＝－6，②联立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cos∠C＝＝＝.答案：10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的...
