高中数学 课时跟踪检测（五）正弦定理、余弦定理的应用 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（五）正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝________.解析：由正弦定理得＝，∴x＝.答案：2．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，则船实际航程为________km.解析：如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6km.答案：63．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为________米．解析：如图所示，BC＝h，AC＝h，∴AB＝＝2h.答案：2h4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是________米．解析：由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(米)．答案：5005.如图，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为________m.解析：由正弦定理，得＝，∴PB＝＝.∴h＝PB·sin45°＝·sin45°＝(30＋30)m.答案：(30＋30)6．一船以22km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________km.解析：如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，AB＝22×＝33，由正弦定理，得＝，∴SB＝66(km)．答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________.解析：由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×＝44100.∴AB＝210，DE＝210.答案：2108．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝时，DE最小．答案：9．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10＝10(＋)．在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝.所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.10.如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔顶A的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.解：设AB＝x， AB垂直于地面，∴△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形．∴BM＝＝x，BN＝＝x.BP＝＝x.在△MNB中，由余弦定理BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB，在△PNB中，由余弦定理BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠PNB，又 ∠MNB与∠PNB互补，MN＝NP＝500，∴3x2＝250000＋x2－2×500x·cos∠MNB，①x2＝250000＋x2－2×500x·cos∠PNB，②①＋②，得x2＝500000＋2x2，∴x＝250或x＝－250(舍去)．所以塔高...