高中数学 求函数的值域 选择好方法学法指导VIP免费

高中数学求函数的值域选择好方法学法指导程丽什么方法才算是最好的呢？当然是运算最简单的那一种了。在多种方法中要选择最好的那一种，这是对基本素质的综合考查。读题——思考——分析——比较——删选，最后才选准了你熟悉的近路。例1函数的值域是_____________。分析：别看问题简单，思路宽着啊！思路1：令，则所以f(x)的值域是思路2：下面考虑此方程有大于2的正根的充要条件令因为G(2)>0，故上述方程若有根大于2，则两根均大于2，有，因此。例2函数的值域是___________。分析：从结构上最容易想到的方法是：思路1：所以注：这种方法容易遗漏y=0的情况。思路2：令则此方程有非负实根的充要条件是：①y=0时t=0满足题意；②y≠0时，△≥0且，所以函数的值域是[0，]例3函数的值域是____________。分析：熟悉题型的读者一看就知道应用换元—配方法求最值。令，则用心爱心专心116号编辑所以t=0时，，故注：得到是常见错误。例4函数的值域是____________。分析：表达式中有正弦，余弦值，一个直观的想法是引进辅助角，利用三角函数的有界性求值域。思路1：所以其中，所以所以思路2：由表达式的结构特征想到直线的斜率。求函数的值域，即为求过定点P（2，2）的单位圆切线斜率的取值范围。如图1所示，设切线PA的方程，并设原点到切线的距离为d，则图1所以，所以注：对于本题，还可以选用别的解法，但都不如这两种方法简洁。例5函数的值域是______________。分析：一次分式函数求值域，常用逆求法。思路1：所以思路2：部分分式法，将常数分离出来用心爱心专心116号编辑由x>0知思路3：酷似定比分点公式，由x>0知内分，因此注：思路三别开生面，一眼就能看出结果来。例6函数的值域是_________________。分析：这是用分段函数给出的表达式，怎样求值域呢？发现是指数互为相反数，故y=f(x)的表达式可写成。这样一来求值域容易了，注：逆向思维，揭示了问题的本质。例7求的值域。思路1：常规解法，对x分类讨论。①x=0时，y=0；②x>0时，所以③x<0时，所以，因此，所求函数的值域是。注：分类讨论总是麻烦事，不讨论行不行？思路2：设，则由所以故注：三角代换，好啊！运算确实简单了。例8求函数的值域。分析：求函数的值域当然是在定义域上进行的。在多种多样的方法中，我们先别管方法的优劣，把能够想到的思路全部摆出来，集中精力考虑一个问题：解答此题，能得到多少锻炼！思路1：由启发我们用三角代换。令，则。怎样求y的值域呢？只需求用心爱心专心116号编辑的值域就可以了！而这里最自然的想法就是：设，故有所以由所以其实，从的结构特征上，还有一个最基本的联想是直线的斜率公式定点（0，2）和单位圆上的点的连线的斜率，只相差一个负号！注意到这些问题，又一条新思路诞生了。令作图2，可知过（0，2）的直线与单位圆相切时斜率最大，故的最小值为。图2注：我们不是提倡那种艰涩的解题的小技巧，我们只要求读者去仔仔细细地推敲所给条件中的每一个字母、每一个符号、每一种表达形式，从而激发解题的灵感的火花。思路2：令，则（这种换元的真正目的：为变形成有理式创设条件）两边平方有由知方程有非负实数解。因此（1）或者（2）又t>0，故，就是注：置函数于方程中，强化方程区间根的讨论，何况的换元是何等巧妙。思路3：设，则从而就转化成：等号当且仅当时取得所以注：从不同的角度去思考问题时，就可以产生出不同的换元方法。用任何一个新变量来代替原来的变量，目的就是使得思路更加通畅，问题更加易于解决。我们既要熟练一般的换用心爱心专心116号编辑元方法，也要掌推一些独特的换元技巧，因为它们的确能发展我们的智力品质。用心爱心专心116号编辑