高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

4.1.2圆的一般方程课后训练案巩固提升1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于()A.πB.2πC.2πD.4π解析:因为圆x2+y2-2x+6y+8=0化为标准方程得(x-1)2+(y+3)2=2,所以圆的半径是,则圆的周长等于2π.答案:C2.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为()A.B.2C.3D.0解析:圆的圆心坐标为(1,1),所以圆心到直线x-y-2=0的距离为.答案:A3.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-3解析:将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).∵直线3x+y+a=0过圆心,∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.答案:B4.(2016重庆名校联盟联考)已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0解析:易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.答案:D5.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有()A.D=0,F=0B.F>0C.D≠0,F≠0D.F<0解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0.由题意知,方程x2+Dx+F=0有两异号实根,即两根之积小于0,∴F<0.答案:D6.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积最小值是()A.3-B.3+C.3-D.解析:直线AB的方程为x-y+2=0,圆心到直线AB的距离为d=,所以C到直线AB的最小距离为-1,S△ABC的最小值为×|AB|××2=3-.答案:A7.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是.解析:易知圆心C为(-1,0),而要求的直线与直线x+y=0垂直,设所求直线方程为y=x+b,将点C的坐标代入y=x+b,得b=1,故所求的直线方程为x-y+1=0.答案:x-y+1=08.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为.解析:设M(x,y),则P(x,2y).∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.答案:x2+4y2=49.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为.解析:将圆的方程配方得+(y+1)2=-k2+1,即r2=1-k2>0,∴rmax=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).答案:(0,-1)10.已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,则a的取值范围是.解析:将圆的方程变形为+(y+1)2=,则4-3a2>0,即-0,则a∈R.∴a∈.答案:11.导学号96640111求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,∴D+E=-2.①又A(4,2),B(-1,3)在圆上,∴16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0.③由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.12.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(1)求圆C的方程;(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.解:(1)(解法一)直线AB的斜率k==-1,所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=,y=.因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组解得所以圆心坐标为C(3,2).又半径r=|CA|=,则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(解法二)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得解得所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),则解得将P(2x-8,2y)代入圆C中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.13.导学号96640112设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).