第九章计数原理、概率、随机变量及其分布9.3二项式定理课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2015·高考陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7B．6C．5D．4解析：(x＋1)n＝(1＋x)n，(1＋x)n的通项为Tr＋1＝Cxr，令r＝2，则C＝15，即n(n－1)＝30.又n>0，得n＝6.答案：B2．(2016·河北唐山一模)3展开式中的常数项为()A．－8B．－12C．－20D．20解析：∵3＝6，∴Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C(－1)3＝－20.答案：C3．(2015·高考湖南卷)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝()A.B．－C．6D．－6解析：Tr＋1＝C()5－r·()r＝C(－a)rx，由＝，解得r＝1.由C(－a)＝30，得a＝－6.故选D.答案：D4．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)解析：设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.答案：5．(2015·高考安徽卷)7的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)解析：Tr＋1＝C·(x3)7－rr＝Cx21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，C＝35.故展开式中x5的系数为35.答案：356．(2016·襄州模拟)若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：n的展开式各项系数之和为64，令x＝1，得2n＝64，故n＝6，则Tr＋1＝C·36－r·x·(－1)r·x－＝(－1)rC·36－r·x3－r，令3－r＝0得r＝3.故常数项为(－1)3C·33＝－540.答案：－5407．已知二项式9，求(1)展开式中的第6项；(2)第3项的系数；(3)含x9的项；(4)常数项．解：通项公式Tr＋1＝C(x2)9－rr＝Crx18－3r.(1)T6＝T5＋1＝C5x3＝－x3.(2)∵T3＝C2x12＝9x12，∴第3项的系数为9.(3)由18－3r＝9可知r＝3，∴T4＝T3＋1＝C3x9＝－x9.(4)由18－3r＝0可知r＝6，∴T7＝C6＝，即常数项为.[B级能力突破]1．(2016·北京一模)设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为()A.B.C．3n－2D．3n解析：(赋值法)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝3n.再令x＝－1得，a0－a1＋a2＋…－a2n－1＋a2n＝1.令x＝0得a0＝1.由①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2n)＝3n＋1，∴a0＋a2＋…＋a2n＝，∴a2＋a4＋…＋a2n＝－a0＝－1＝.答案：B2．(2014·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.答案：C3．(2016·保定高三调研)已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为()A．10B．－10C．80D．－80解析：a＝2cosdx＝2sin＝2＝－2，∴5的通项Tr＋1＝C(x2)5－r·r＝(－2)rC·x10－3r，令10－3r＝1，∴r＝3，展开式中x的系数为(－2)3·C＝－8C＝－80.答案：D4．(2015·高考课标卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝__________.解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.答案：35．(2014·高考山东卷)若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．解析：6的展开式的通项为Tr＋1＝C6－r·r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值为2.答案：26．(2016·江西上饶检测)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，则a＝________.解析：5的通项公式Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.答案：±7．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；(2)求此展开式中有理项的项数．解：令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，n＝5.由题意，令＝2，解得k＝3，故含x2项存在．它的系数为(－1)3·C·55－3＝－250.(2)展开式中的有理项应满足，故k只能取3，即展开式中只有一项有理项．
