高考数学一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用高效演练分层突破 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第5讲数列的综合应用[基础题组练]1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：选C.法一：因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C.2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝()A．26B．52C．78D．104解析：选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝4a7，所以a＝4a7≠0，解得a7＝4，因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，所以S13＝＝13b7＝13a7＝52.故选B.3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝lnx＋x2－8x的极值点，则S8＝()A．－38B．38C．－17D．17解析：选A.因为f(x)＝lnx＋x2－8x，所以f′(x)＝＋x－8＝＝，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d＞0，所以a6＝，a8＝，所以解得所以S8＝8a1＋×d＝－38，故选A.4．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)1解析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．5．(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2019项的和为()A．672B．673C．1346D．2019解析：选C.由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2019＝673×3，所以数列{an}的前2019项的和为673×2＝1346.故选C.6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝，Sn的最小值为．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为即所以可得所以a5＝a1＋4d＝0，因为Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.答案：0－107．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝．解析：由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.答案：328．(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝．解析：由Hn＝＝2n，得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，①当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，②由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，所以Sn＝＝.2答案：9．(2020·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝13，求Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)因为T3＝b1(1＋q＋q2)，所以1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3得d＝4－q，所以d＝1或d＝8.由Sn＝na1＋n(n－1)d，得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.10．(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，...