4.3空间直角坐标系课后篇巩固提升1.设A(1,-1,1),B(3,1,5),则AB中点在空间直角坐标系中的位置是()A.y轴上B.xOy面内C.xOz面内D.yOz面内解析因为A(1,-1,1),B(3,1,5),所以线段AB的中点坐标为(2,0,3),该点在xOz面内.答案C2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|=()A.❑√534B.532C.❑√532D.❑√132解析AB的中点M的坐标为(2,32,3),故|CM|=❑√22+(12)2+32=❑√13+14=❑√532.答案C3.设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是()A.(1,1,-1)B.(-1,-1,-1)C.(-1,-1,1)D.(1,-1,1)解析易知点P关于xOy平面的对称点P1(1,1,-1),则点P1关于z轴的对称点P2(-1,-1,-1).答案B4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析由空间两点间的距离公式,得|AB|=❑√(1-4)2+(-2-2)2+(11-3)2=❑√89,|AC|=❑√(1-6)2+[-2-(-1)]2+(11-4)2=❑√75,|BC|=❑√(4-6)2+[2-(-1)]2+(3-4)2=❑√14.∴AC2+BC2=AB2.又∵BC≠AC,∴△ABC为直角三角形.答案C5.在空间直角坐标系中,点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为❑√30,则m的值为()A.-9或1B.9或-1C.5或-5D.2或3解析由题意|PP1|=❑√30,即❑√(m-4)2+1+(-2)2=❑√30,∴(m-4)2=25,解得m=9或m=-1.故选B.答案B6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=BC=2,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()A.2❑√23B.2❑√33C.43D.2❑√53解析建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),P(0,t,2t),t∈[0,2],Q(2-m,m,0),m∈[0,2].∴PQ=❑√(m-2)2+(t-m)2+4t2=❑√5(t-m5)2+95(m-109)2+169,当且仅当5t=m=109时,PQ取最小值43,故选C.答案C7.已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1,A关于z轴的对称点为A2,则|A1A2|等于.解析由题可知A1(-4,-2,3),A2(4,2,3),∴|A1A2|=❑√(-4-4)2+(-2-2)2+0=4❑√5.答案4❑√58.已知点P在z轴上,且满足|OP|=1(O为坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离是.解析∵点P在z轴上,且|OP|=1,∴点P的坐标是P(0,0,1)或P(0,0,-1).∴|PA|=❑√12+12+0=❑√2或|PA|=❑√12+12+22=❑√6.答案❑√2或❑√69.已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为.解析由平行四边形对角线互相平分知,AC的中点即为BD的中点,AC的中点M(72,4,-1).设D(x,y,z),则72=x+22,4=-5+y2,-1=1+z2,∴x=5,y=13,z=-3,∴D(5,13,-3).答案(5,13,-3)10.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A'B'C'D',A'C的中点E到AB的中点F的距离为.解析由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a).∴F(a,a2,0),E(a2,a2,a2).∴|EF|=❑√(a-a2)2+(a2-a2)2+(0-a2)2=❑√a24+a24=❑√22a.答案❑√22a11.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,|AA1|=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点,求MN的长.解以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵|CA|=|CB|=1,|AA1|=2,∴N(1,0,1),M12,12,2.由两点间的距离公式,得|MN|=❑√(1-12)2+(0-12)2+(1-2)2=❑√62,∴MN的长为❑√62.12.如图建立空间直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是正方体对角线D1B的中点,点Q在棱CC1上.(1)当2|C1Q|=|QC|时,求|PQ|;(2)当点Q在棱CC1上移动时,探究|PQ|的最小值.解由题意,知B(1,1,0),D1(0,0,1),故BD1的中点P(12,12,12).由于点Q在CC1上,故Q点坐标可设为(0,1,a)(0≤a≤1).(1)由2|C1Q|=|QC|,易知|QC|=23,故Q(0,1,23).从而|PQ|=❑√(12-0)2+(12-1)2+(12-23)2=❑√196.(2)由题意,知|PQ|=❑√14+14+(a-12)2=❑√(a-12)2+12(0≤a≤1).当a=12时,(a-12)2+12取得最小值.从而|PQ|min=❑√22,此时Q(0,1,12).13.在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.解由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又底面边长为a,所以OC=❑√22a,而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,❑√22a-❑√2x)(x>0),又Q点在底面ABCD的对角线BD上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离|PQ|=❑√(-x-y)2+(x-y)2+(❑√22a-❑√2x)2=❑√4(x-a4)2+2y2+a24,显然当x=a4,y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于a2,这时,点P为SC的中点,点Q为底面的中心.
