第6章不等式第3讲A组基础关1．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.2．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是()A．p≥qB．p＞qC．p＜qD．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A.3．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是()A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4答案D解析对于A，当x＝－1时，y＝－2，故A不正确；对于B，y＝＝＋≥2，当且仅当＝时取等号，此时无解．故最小值不为2，B不正确；对于C，D，因为x>0，所以3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝时等号成立，则2－≤2－4，故C不正确，D正确．4．已知a>0，b>0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于()A．4B．8C．16D．32答案B解析a>0，b>0，且a＋2b＝8，则ab＝a×2b≤×2＝×16＝8，当且仅当a＝2b＝4时取得等号．则ab的最大值为8.5．函数f(x)＝logm(x－1)＋1(m>0且m≠1)过定点P，已知直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过定点P，则＋的最小值为()A．5B．4C．3D．3＋2答案D解析函数f(x)＝logm(x－1)＋1过定点P(2,1)，代入直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)的方程可得2a＋b－1＝0，所以2a＋b＝1，可知＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当b＝a时，取等号，所以最小值为3＋2.故选D.6．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16答案B解析 正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1，同理b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，∴最小值为6.7．(2018·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是()A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤答案A解析因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥.故选A.8．设a>0，b>0，a＋b＝＋，则3a＋81b的最小值为________．1答案18解析由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.所以3a＋81b＝3a＋34b≥2＝2≥2＝2＝2×32＝18，当且仅当a＝4b＝2时等号成立．9．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2017＝4034，则＋的最小值为________．答案4解析由题意得S2017＝＝＝4034，所以a9＋a2009＝4.又a9>0，a2009>0，所以＋＝(a9＋a2009)＝≥＝4.当且仅当＝，即＝3时等号成立，所以＋的最小值为4.10．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30解析一年的总运费为6×＝(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为万元．因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．B组能力关1．(2018·东北育才学校模拟)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是()A．4B.C．8D．9答案D解析 AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有AB∥AC，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.2．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.B.C．2D.答案C解析由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.3．(2019·河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为()A.B.C.D.答案D解析因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·(2a)·≤××[(2a)2＋()2]＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.24．(201...
