【步步高】2016高考数学大一轮复习13.2直接证明与间接证明试题理苏教版一、填空题1．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋11；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案③5．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为________．解析∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．∴f≤f()≤f.答案A≤B≤C6．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(ⅰ)1].解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).又∵1*1=1,∴n*1=n.答案n7．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.解析通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数．答案－g(x)二、解答题9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解A、B、C成等差数列．证明如下：∵＋＝，∴＋＝3.∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°.∴A、B、C成等差数列．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则由得解得故an＝2n－1，Sn＝n2.(2)假设存在正整数t.由(1)知bn＝，要使b1，b2，bm成等差数列；则需2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，整理，得m＝3＋.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．11．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a>0，证明：当0f；(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，g′(x)＝＋－2a＝.当00，而g(0)＝0，∴g(x)>0，故当0f.(3)证明由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点．∴a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0f＝f(x1)＝0.从而x2>－x1，于是x0＝>.由(1)知f′(x0)<0.
