考点测试27平面向量基本定理及坐标表示一、基础小题1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－4，m)，若a＝－b，则m＝()A．－2B．2C．－D．答案A解析由向量的坐标运算可得1＝－m，解得m＝－2.2．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(5,7)，e2＝(1，－2)C．e1＝(3,4)，e2＝(6,8)D．e1＝(2,3)，e2＝答案B解析A、C、D三个选项中两向量均共线，由平面向量基本定理知，基底不能共线，故选B.3．若向量BA＝(1，－3)，CA＝(3，－8)，则2BC＝()A．(－4,10)B．(－2,5)C．(4,5)D．(8,10)答案A解析BC＝BA＋AC＝(1，－3)＋(－3,8)＝(－2,5)，故2BC＝(－4,10)．4．已知点A(1，－2)，若向量AB与向量a＝(2,3)同向，且|AB|＝，则点B的坐标为()A．(2,3)B．(－2,3)C．(3,1)D．(3，－1)答案C解析设AB＝(x，y)，则AB＝ka(k>0)，即由|AB|＝得k＝1，故OB＝OA＋AB＝(1，－2)＋(2,3)＝(3,1)．故选C.5．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)且b∥c，则x的值为()A．4B．－4C．2D．－2答案B解析由2a＝(2,2)及2a＋b＝(4,3)，得b＝(2,1)．由b∥c，得x＋4＝0，得x＝－4.6．已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当A、B、C三点共线时，实数k的值为()A．3B．11C．－2D．－2或11答案D解析因为AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11.7．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.8．已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝()A．－3B．3C．－4D．4答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.故选A.9．已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－B．C．－D．答案A解析由条件得，λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因两者垂直，所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.10．设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使MA1＋MA2＋MA3＋MA4＝0成立的点M的个数为()A．0B．1C．2D．4答案B解析解法一：设M(x，y)，Ai＝(xi，yi)(i＝1,2,3,4)，则MAi＝(xi－x，yi－y)，由MAi＝0，得即故点M只有1个．解法二：取特殊值，令A1(0,0)，A2(0,1)，A3(1,1)，A4(1,0)，则满足MA1＋MA2＋MA3＋MA4＝0的条件的点有且仅有1个，即正方形A1A2A3A4的中心．11．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则向量a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．答案(0,2)解析 向量a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，故即故向量a在基底m，n下的坐标为(0,2)．12．已知O为坐标原点，B，D分别是单位圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点，点P为劣弧BD上一点，若OB＋OD＝xDB＋yOP，∠BOP＝，则x＋y＝________.答案解析如图， DB＝OB－OD，∴OB＋OD＝x(OB－OD)＋yOP.∴yOP＝(1－x)OB＋(1＋x)OD①. ∠BOP＝，∴OP＝OB＋OD，∴yOP＝OB＋OD②，由①②得，解得x＝2－，y＝2－2，∴x＋y＝.二、高考小题13．[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8答案D解析由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8.故选D.14．[2014·福建高考]在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案B解析由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A中，e1＝0·e2，B中，e1，e2为两个不共线向量，C中，e2＝2e1，D中，e2＝－e1.故选B.15．[2016·四川高考...
