上海市封浜中学高三数学第一轮基础知识总复习九—(5)求函数值域的方法复习内容：高中数学第二章-（5）求函数值域的方法I.基础知识要点1．在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3．求函数值域的方法II.点例剖析（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求下列函数的值域：（1）y=x2-4x+5；（2）y=x2-4x+5，x∈[1,4]；(3)y=x2+2x+4,x∈[0,+∞（4）y=-x4+2x2+3；（5）y=；(6)y=4x+2x+1（7）y=；（8）y=sin2x-sinx+（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：，用公式来求值域；【例2】求下列函数的值域：（1）y=,（x>0）；（2）y=4,（x≠0）；（3）y=,（0＜x≤2；（4）y=x(6-x)；（5）y=,（4）不等式性质法【例3】求下列函数的值域：（1）y=；（2）y=；（3）y=（4）y=10-；（2）y=；（3）y=（5）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.【例4】求下列函数的值域：（1）y=；（2）y=；（3）y=；（法一）反函数法：（法二）分离变量法：（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.【例5】求下列函数的值域：（1）y=x3+arcsinx；（2）y=(正常数a≠1,x≥1)；（3）y=；（4）y=（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；【例6】（1）；（2）【解】（1）设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．说明：总结型值域，变形：或（2）三角换元法： ，∴设，则 ，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域【例7】（1）已知，求函数u=3x+4y的值域；（2）（3）对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P（x，y），不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围；（4）求函数的值域.解：（2）设，则yxkykx.问题转化为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点时，斜率的取值范围问题。现在只要求出k的最大和最小值即可。kk大小，3333k3333，（3）xyPxy2211102()cossin上任一点可写成，代入得xym010sincosm，mmsincossin()124124121sin()的最大值为。mxym210时，不等式恒成立。（4）数形结合法：，∴，∴函数值域为．（9）最值法：【例7】求下列函数的值域：拓展【例1】求函数f(x)=的值域：【例2】求函数f(x)=的值域是[-1，9]，求实数a、b值.Ⅲ.小结1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。5．对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.c...
