第50讲椭圆[解密考纲]对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(A)A．(0,1)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1， x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，解得0
b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(C)A．B．C．D．解析由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.4．(2018·福建厦门模拟)椭圆E：＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB的周长的最大值是8，则m＝(B)A．0B．1C．D．2解析设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B．5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为(B)A．B．C．D．解析设向量F1P，F2A的夹角为θ.由条件知|AF2|＝＝，则F1P·F2A＝|F1P|cosθ，于是F1P·F2A要取得最大值，只需F1P在向量F2A上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以F1P·F2A＝|F1P|cosθ≤.故选B．6．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(C)A．B．1C．D．解析由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，∴e＝＝.故选C．二、填空题7．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)，∠B1PA2为钝角，即B2A2，F2B1所夹的角为钝角，∴(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解析(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．将y＝(x－3)代入椭圆C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，∴x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即线段AB的中点坐标为.11．(2018·广州五校联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且经过点(，1)，O为坐标原点．(1)求椭圆E的标准方程；2(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x＝－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当∠PMQ＝60°，求直线PQ的方程．解析(1) ＝，∴a2＝2c2，a2＝2b2，又椭...
