题组层级快练(七十一)1．设a>0为常数，动点M(x，y)(y≠0)分别与两定点F1(－a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为的双曲线，则λ的值为()A．2B．－2C．3D.答案A解析轨迹方程为·＝λ，整理，得－＝1(λ>0)，c2＝a2(1＋λ)，1＋λ＝＝3，λ＝2，故选A.2．(2015·山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A．5B．6C．7D．8答案B解析由题意可知，p＝4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于x轴，解得N(6，－4)，故x0等于6.故选B.3．(2014·江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM·PF＝0，PM＋PN＝0.(1)求动点N的轨迹C的方程；(2)设点Q是直线l：x＝－1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1＋k2＝2k0.答案(1)y2＝4x(2)略解析(1)设点N(x，y)，M(a,0)，P(0，b)．由PM＋PN＝0可知，点P是MN的中点．所以即所以点M(－x,0)，P(0，)．所以PM＝(－x，－)，PF＝(1，－)．由PM·PF＝0，可得－x＋＝0，即y2＝4x.所以动点N的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)设点Q(－1，t)，由于过点Q的直线y－t＝k(x＋1)与轨迹C：y2＝4x相切，联立方程整理，得k2x2＋2(k2＋kt－2)x＋(k＋t)2＝0.则Δ＝4(k2＋kt－2)2－4k2(k＋t)2＝0，化简得k2＋tk－1＝0.显然，k1，k2是关于k的方程k2＋tk－1＝0的两个根，所以k1＋k2＝－t.又k0＝－，故k1＋k2＝2k0.所以命题得证．4．(2015·北京海淀二模)已知椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A(0,1)，B(0，－1)．(1)求椭圆G的方程；(2)若C，D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N.判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．答案(1)＋y2＝1(2)不过点A解析(1)由已知可设椭圆G的方程为＋＝1(a>1)．由e＝，可得e2＝＝，解得a2＝2.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)方法一：设C(x0，y0)，且x0≠0，则D(－x0，y0)．因为A(0,1)，B(0，－1)，所以直线AC的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xM＝，所以M(，0)．同理，直线BD的方程为y＝x－1，求得N(，0)．AM＝(，－1)，AN＝(，－1)，所以AM·AN＝＋1.由C(x0，y0)在椭圆G：＋y2＝1上，所以x＝2(1－y)．所以AM·AN＝－1≠0，所以∠MAN≠90°.所以以线段MN为直径的圆不过点A.方法二：因为C，D关于y轴对称，且B在y轴上，所以∠CBA＝∠DBA.因为N在x轴上，又A(0,1)，B(0，－1)关于x轴对称，所以∠NAB＝∠NBA＝∠CBA.所以BC∥AN，所以∠NAC＝180°－∠ACB.设C(x0，y0)，且x0≠0，则x＝2(1－y)．因为CA·CB＝(－x0,1－y0)·(－x0，－1－y0)＝x＋(y－1)＝x>0，所以∠ACB<90°，所以∠NAC≠90°，所以以线段MN为直径的圆不过点A.5．(2015·广东清远调研)已知抛物线C1的焦点F与椭圆C2：x2＋＝1的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点．(1)求抛物线C1的方程；(2)设圆M过点A(1,0)，且圆心M在C1的轨迹上，BD是圆M在y轴上截得的弦，问弦长BD是否为定值？请说明理由．答案(1)y2＝2x(2)为定值2解析(1) 抛物线C1的焦点与椭圆C2：x2＋＝1的右焦点重合，∴抛物线C1的焦点坐标为F(，0)． 抛物线C1的顶点在坐标原点，∴抛物线C1的方程为y2＝2x.(2) 圆心M在抛物线y2＝2x上，可设圆心M(，a)，半径r＝，则圆的方程为(x－)2＋(y－a)2＝(1－)2＋a2.令x＝0，得B(0,1＋a)，D(0，－1＋a)，∴|BD|＝2，∴弦长BD为定值．6．(2015·山东临沂质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线＋＝1(1
