2017年高考数学基础突破——集合与函数4．函数的奇偶性与周期性【知识梳理】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2．奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【基础考点突破】考点1．函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋)；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)=(4)f(x)＝．【归纳总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．变式训练1．(1)下列函数为奇函数的是()A．y＝B．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数考点2．函数奇偶性的应用【例2】(1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1【归纳总结】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式．变式训练2．(1)(2016·唐山模拟)已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝()A．－4B．－2C．－1D．－3(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________．考点3．函数的周期性及其应用【例3】f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．【归纳总结】(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质．(3)函数周期性的三个常用结论：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，②若f(x＋a)＝，则T＝2a，③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．变式训练3．(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________．(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(19.5)＝______．考点4．函数性质的综合应用命题点1．函数奇偶性的应用【例4】(1)已知，且，那么等于________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．命题点2．单调性与奇偶性、周期性结合【例5】(1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增...
