高考数学复习点拨 数系的扩充与复数的引入复习指要VIP免费

“数系的扩充与复数的引入”复习指要一．梳理本章知识结构二．体会本节重、难点本章重点是复数的概念及代数形式的运算.本章难点是复数的向量表示和复数的三角形式及其运算.三．掌握本节要点1．复数及分类形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a为实部，b为虚部，ii是虚数单位，且满足ii2＝－1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）2．复数相等的充要条件a＋bii＝c＋diia＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）.特别地a＋bii＝0a＝b＝0（a，b∈R）.3．Ii的冥i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i（n∈Z）.4．复数的加法和减法（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i（a，b，c，d∈R）.5．复数的乘法和除法⑴复数的乘法按多项式相乘进行，即（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.⑵复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化.6．共轭复数及其运算性质z＝a＋bi与z＝a－bi互为共轭复数，且z＋z＝2a，z－z＝2bi，z·z＝｜z｜2＝｜z｜2，它的运用心爱心专心复数复数的概念复数与复数分类复数相等的充要条件共轭复数复数的模复数的运算复数的加法法则复数的减法法则复数的乘法法则复数的除法法则（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）（b＋d）i复数加法的几何意义（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）（b－d）i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝｜z1－z2｜（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i＝＋i算性质有z1＋z2＝z1＋z2，z1·z2＝z1·z2，＝（z2≠0）7．ω的性质记ω＝－＋i，则ω＝－－i，ω3＝ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω·ω＝1，ω＋ω＝－1，ω2＝ω.8．数集间的联系：NZQRC9．复数集C与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的.见右图.复数z＝a＋bi点Z（a，b）向量OZ10．复数的加减运算是按照向量相加减的平行四边形和三角形法则进行的.见图1、图2.11．复数的模即为对应向量的模设z＝a＋bi，则｜z｜＝r＝且有⑴｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜；⑵｜z｜2＝z·z；⑶｜z｜＝1z·z＝1；⑷｜z｜2＝｜z｜2＝｜z2｜＝｜z2｜＝z·z.12．复数与点的轨迹⑴两点间的距离公式：d＝｜z1－z2｜；⑵线段的中垂线：｜z－z1｜＝｜z－z2｜；⑶圆的方程：｜z－P｜＝r（以点P为圆心，r为半径）；⑷椭圆：｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝2a（2a为正常数，2a＞｜z1－z2｜）；⑸双曲线：｜｜z－z1｜－｜z－z2｜｜＝2a（2a为正常数，2a＜｜z1－z2｜＝）.四．典型例题分析专题一复数的代数运算【例1】计算下列各式的值①＋（2＋i15）－（）100；②（）2000＋（）2006答案：①－3i；②＋i.专题二复数的几何意义【例2】设复数Z满足｜z｜＝1，求｜z－（3＋4i）｜的最值.解：利数的几何意义知｜z｜＝1表示复数z的对应点Z的轨迹为单位圆，圆心（0，0），半径为1.因而所求问题的几何意义是求此圆上的点到点C（3，4）的距离的最大值与最小值.如图易见｜z－（3＋4i）｜max＝｜AC｜＝｜DC｜＋1＝＋1＝6｜z－（3＋4i）｜min＝｜BC｜＝｜OC｜－1＝4用心爱心专心xyaZ（a,b）Obxy图1ZOZ1Z2x图2OZ1Z2y专题三高考题回顾【例3】已知z为复数，z＋2i，均为实数（Ii为虚数单位），且复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围（2005年，上海）.思路分析由z＋2i与为实数可知z的代数形式.解：设z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2i＝x＋（y＋2）Ii，由题意知y＝－2∵＝＝（x－2i）（2＋i）＝（2x＋2）＋（x－4）Ii，由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∵（z＋ai）2＝（12＋4a－a2）＋8（a－2）ii，根据条件，可知解得2＜a＜6.∴实数a的取值范围是（2，6）.用心爱心专心yAxOC（3，4）B