高考数学二轮复习 限时检测提速练18 定点、定值与探索性问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

限时检测提速练(十八)定点、定值与探索性问题A组1．(2018·威海三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|．(1)求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义，|QF|＝x0＋，又|QF|＝2|PQ|，即2x0＝x0＋，解得x0＝，将点Q代入抛物线方程，解得p＝4．(2)由(1)知C的方程为y2＝8x，所以点T坐标为，设直线MN的方程为x＝my＋n，点M，N，由得y2－8my－8n＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，所以kMT＋kNT＝＋＝＋＝＝＝－，解得n＝m－1．所以直线MN方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过点(－1，－1)．2．(2018·咸阳三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点(，1)，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过坐标原点作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，C，直线l2交椭圆于B，D，且|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝24，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：kk为定值．(1)解：e＝＝，又a2＝b2＋c2，将点(，1)代入椭圆M方程＋＝1得到a＝2，b＝，c＝，所以椭圆M的方程为＋＝1．(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，D(－x2，－y2)，由＋＝1，得y2＝2－，|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝2(|AB|2＋|DA|2)＝2[(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝4(x＋x＋y＋y)＝4＝24，所以x＋x＝4，kk＝＝＝＝，故kk为定值．3．(2018·三湘名校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，M为焦点是的抛物线上一点，H为直线y＝－a上任一点，A，B分别为椭圆C的上，下顶点，且A，B，H三点的连线可以构成三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)直线HA，HB与椭圆C的另一交点分别交于点D，E，求证：直线DE过定点．(1)解：由题意知，解得∴椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)证明：设点H(m，－2)(m≠0)，易知A(0,1)，B(0，－1)，∴直线HA的方程为y＝－x＋1，直线HB的方程为y＝－x－1．联立得x2－x＝0，∴xD＝，yD＝，同理可得xE＝，yE＝，∴直线DE的斜率为k＝，∴直线DE的方程为y－＝，即y＝x－，∴直线DE过定点．4．(2018·南充三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F(－2，0)左顶点A1(－4,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．解：(1)由题意可得，a＝4，c＝2,由a2＝b2＋c2，得b2＝42－22＝12．所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)当∠APQ＝∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的方程为y－3＝k(x－2)．联立消y得(3＋4k2)x2＋8(3k－2k2)x＋4(4k2＋9－12k)－48＝0．所以2＋x1＝.同理2＋x2＝．所以x1＋x2＝，x1－x2＝．所以kAB＝＝＝．所以AB的斜率为定值．B组1．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点．(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．(1)解：设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a＞0，将A(2,1)代入得，a＝4．所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1．(2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，联立消去y得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得x＝2或x＝4k1－2，因此点B(4k1－2，(2k1－1)2)，同理可得C(4k2－2，(2k2－1)2)．于是直线BC的斜率k＝＝＝k1＋k2－1，又k1＋k2＝k1k2，所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·[x－(4k2－2)]，即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3．故直线BC恒过定点(2，－3)．2．(2018·广东联考)已知椭圆C1：＋＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2＝8x的焦点．(1)若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1,1)，求直线MN的斜率；(2)若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明＋是定值．解：因为抛物线C2：y2＝8x的焦点为(2,0)，...