第1讲平面向量的概念及线性运算1．如图，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C．由题图可知a－b＝e1－3e2.故选C．2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|解析：选A．依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A．3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.4.如图所示，已知向量AB＝2BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式中成立的是()A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－b解析：选A．由AB＝2BC得AO＋OB＝2(BO＋OC)，即2OC＝－OA＋3OB，所以OC＝OB－OA，即c＝b－a.故选A．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－bB．a－bC．a＋bD．a＋b解析：选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.6．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．所以正确命题为②③④.答案：37．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________．解析：因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB＋AC|＝2.答案：28．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△ABC与△AOC的面积之比为________．解析：取AC的中点D，连接OD，则OA＋OC＝2OD，所以OB＝－OD，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC与△AOC面积之比为2.答案：29.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，所以OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，所以BP与BA共线．又因为BP与BA有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA，所以OP－OB＝λ(OA－OB)．又OP＝mOA＋nOB.故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.因为O，A，B不共线，所以OA，OB不共线，所以所以m＋n＝1.结论得证．1．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AC＝b，DE＝2EC，则BE＝()A．b－aB．b－aC．b－aD．b＋a解析：选C．因为BE＝AE－AB＝AD＋DE－AB，所以BE＝BC＋AB－AB＝AC－AB＋AB－AB＝AC－AB＝b－a，故选C．2.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ等于()A．B．C．D．2解析：选B．因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ＋μ(－AB＋AD)＝(λ－μ)AB＋AD，所以解得λ＋μ＝.故选B．3．(2018·江西吉安模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A．由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC＋BA)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．4．已知点P、Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA＋PC＝0，2QA＋QB＋QC＝BC，若|PQ|＝λ|BC|，则正实数λ＝________．解析：由条件PA＋PC＝0知PA＝－PC＝CP，所以点P是边AC的中点，又2QA＋QB＋QC＝BC，所以2QA＝BC－QB－QC＝BC＋CQ＋BQ＝2BQ，从而有QA＝BQ，故点Q是边AB的中点，所以PQ是与边BC平行的中位线，所以|PQ|＝|BC|，故λ＝.答案：5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若AE＝mAB＋AD，求实数m的值．解：由N是OD的中点得AN＝AD＋AO＝AD＋(AD＋AB)＝AD＋AB，又因为A，N，E三点共线，故AE＝λAN，即mAB＋AD＝λ，所以解得故实数m＝.
