考点32：二面角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】二面角的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）常规法求二面角的平面角例1.【2014安徽卷（理）】如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.【解析】试题分析：（1）利用面面平行来证明线线平行∥，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可得出，即为的中点.（2）连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.先表示出和，就可求出，从而.（3）常规法，作出二面角.在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.（1）证：因为∥，∥,，所以平面∥平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行，即∥.故与的对应边相互平行，于是.所以，即为的中点.（2）解：如图，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.，，所以，又所以，故.【方法技巧归纳】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；求二面角一是传统方法，“一作，二证，三求”，如本题的解析，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.求二面角的常见方法有：1、利用定义找到二面角的平面角，根据平面几何知识求解；2、利用公式，求出二面角的余弦，从而求得二面角的大小；3、利用空间相夹角余弦公式．【变式1】【改编例题中条件】【2017届安徽省马鞍山市中加学校三模】如图，三棱柱中，四边形是菱形，，,二面角为，.（Ⅰ）求证：平面平面;（Ⅱ）求二面角的余弦值.【解析】试题分析：（1）由菱形可得，由棱柱和可得，由直线与平面垂直判定定理，可得,可证。（2）过交点作,垂足为,连则为二面角的平面角。由二面角为，，可求得各线段长，即可算出二面角的平面角。（2）由题意得为正三角形，取得中点为D，连CD,BD,则,又易得,则为二面角的平面角，因,=,所以,所以过交点作,垂足为,连则为二面角的平面角，又得所以【变式2】【改编例题中条件】【2014湖南卷（理）】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.(1)证明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.【解析】试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角,过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等四边形和四边形均为菱形分别为中点四边形和四边形为矩形且又且底面底面.又且,面面又面又且,面面为二面角的平面角,则且四边形为菱形,,则再由的勾股定理可得,则,所以二面角的余弦值为.（二）向量法求二面角的平面角例2.【2017全国1卷（理）】如图所示，在四棱锥中，，且(1)证明：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：因为，所以，.又因为，所以，又因为，、平面所以平面，又平面，所以平面平面（2）取中点，中点，联结，，因为，所以四边形为平行四边形，所以.由（1）知，平面，所以平面，又、平面，所以，.又因为，所以，所以、、两两垂直，所以以为...
