2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为()A.πB．C．8πD．π解析：设球的半径为R，截面的半径为r.∴πr2＝π.∴r＝1.∴R＝.∴V＝πR3＝()3＝π.答案：D2．64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A．V甲＞V乙且S甲＞S乙B．V甲＜V乙且S甲＜S乙C．V甲＝V乙且S甲＞S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙解析：64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲＝64×π·3＝πa3，表面积之和为S甲＝64×4π2＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝πa3，表面积为S乙＝4πa2.所以V甲＝V乙且S甲＞S乙，故选C.答案：C3．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A.B.C.D．解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则6a2＝4πR2，即a＝R.∴V正＝a3＝R3，V球＝πR3，∴＝.答案：D4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A．25πB．50πC．125πD．都不对解析：设球的半径为R.则2R＝＝5.∴S表＝4πR2＝π(2R)2＝π(5)2＝50π.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.答案：3π6．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π.答案：24π三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知高与底面直径之比为2∶1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，求球的体积．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，球的半径为R，则＝，∴h＝4r.∵V柱＝500π，∴πr2h＝500π，即πr2·4r＝500π，∴r3＝＝125，∴r＝5.由圆柱内接于球知：R＝＝＝r，即R＝5，∴V球＝πR3＝π(5)3＝π.即V球＝π.∴球的体积为π.8．如图，一个长、宽、高分别为80cm,60cm,55cm的水槽中有水200000cm3.现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的在水中，在水上，那么水是否会从水槽中流出？解析：水槽的容积V＝80×60×55＝264000(cm3)，木球的体积V木＝π×253≈65417(cm3)．∵200000＋65417×≈243611＜V，∴水不会从水槽中流出．☆☆☆9．(10分)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在一个球面上，求此球的表面积．解析：由题意可知，该四面体是正四面体，则根据正四面体与球的对称性可知球心在四面体的高线上，且球心到各顶点的距离相等，如图所示，在四面体S－ABC中，高为SD，O为外接球的球心，设球的半径为R，则OS＝OC＝R.又四面体所有棱长都为，所以CD＝＝，SD＝＝.在Rt△ODC中，OC2＝OD2＋CD2，即R2＝2＋2，解得R＝，所以S球＝4πR2＝3π.
