高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 立体几何（6） 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

立体几何(6)1．[2019·重庆市七校联考]如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求三棱锥B1－A1BD的体积．解析：(1)因为AB＝BC＝CA，D是AC的中点，所以BD⊥AC.因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，又平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，所以BD⊥平面AA1C1C，又AE⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AE.在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，易证得A1D⊥AE，又A1D∩BD＝D，A1D⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以AE⊥平面A1BD.(2)如图所示，连接AB1交A1B于O，则O为AB1的中点，所以点B1到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离，易知BD＝，所以V三棱锥B1－A1BD＝V三棱锥A－A1BD＝V三棱锥B－AA1D＝×S△AA1D×BD＝××2×1×＝，所以三棱锥B1－A1BD的体积为.2．[2019·湖北部分重点中学联考]如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.(1)求证：SB∥平面ACM；(2)求点C到平面AMN的距离．解析：(1)连接BD交AC于E，连接ME. 四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点． M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线，∴ME∥SB.又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM.(2)由条件知DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC.又SA＝AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD，∴AM⊥平面SDC，∴SC⊥AM.由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN.于是CN⊥平面AMN，则CN为点C到平面AMN的距离．在Rt△SAC中，SA＝2，AC＝2，SC＝＝2，于是AC2＝CN·SC⇒CN＝，∴点C到平面AMN的距离为.3．[2019·江西名校联考]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AA1⊥A1C，平面AA1C1C⊥平面ABC，∠ACC1＝120°，AA1＝2，BC＝3.(1)求证：AA1⊥A1B.(2)求三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．解析：(1)由题意知平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，又AA1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AA1，又AA1⊥A1C，A1C∩BC＝C，所以AA1⊥平面A1BC.因为A1B⊂平面A1BC，所以AA1⊥A1B.(2)易得∠C1A1C＝∠A1CA＝30°，所以在Rt△AA1C中，AC＝4，A1C＝2，故四边形AA1C1C的面积S1＝2×2＝4.△A1B1C1和△ABC的面积之和S2＝2××3×4＝12，且AB＝5.又AA1⊥A1B，所以A1B＝＝，所以四边形AA1B1B的面积S3＝2×＝2.由(1)知BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥CC1，故四边形BB1C1C的面积S4＝2×3＝6.故三棱柱ABC－A1B1C1的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S4＝4＋18＋2.4.[2019·安徽六校第二次联考])如图，四边形ABCD为矩形，点A，E，B，F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°.(1)若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；(2)在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF？若存在，求出此时三棱锥G－ABE与三棱锥G－ADF的体积之比；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，所以BC⊥平面AEBF.因为AF⊂平面AEBF，所以BC⊥AF.因为∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，所以AF⊥平面BCF.又AF⊂平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCF.(2)假设存在满足条件的点G.因为BC∥AD，AD⊂平面ADF，所以BC∥平面ADF.因为△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，所以∠FAB＝∠ABE＝45°，所以AF∥BE，又AF⊂平面ADF，所以BE∥平面ADF，因为BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF.如图所示，延长EB到点H，使得BH＝AF，连接CH，HF，AC，易证四边形ABHF是平行四边形，又BC綊AD，所以HF綊AB綊CD，所以四边形HFDC是平行四边形，所以CH∥DF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，又DF⊂平面CDF，所以BG∥平面CDF，即此点G为所求的点．又BE＝AB＝2AF＝2BH，所以EG＝EC.易知S△ABE＝2S△ABF，所以V三棱锥G－ABE＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥C－ABF＝V三棱锥D－ABF＝V三棱锥B－ADF＝V三棱锥G－ADF，故V三棱锥G－ABEV三棱锥G－ADF＝43.5．[2019·江西宜春大联考]如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2π，AD＝4，E，F分别为DC，AB上的点，且DE＝DC，AF＝AB，将矩形ABCD卷成如图2...