课时分层作业(三十二)函数的零点与方程的解(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2B．－2C．±2D．3C[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是()A．(1，＋∞)B.C.D．B[由f(x)＝2x－，得f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴f·f(1)<0.∴零点所在区间为.]3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()A.，0B．－2,0C.D．0D[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有C[若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]二、填空题6．函数f(x)＝的零点是________．1[令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]7．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.2[令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增， f(2)＝ln2＋2－4<0，f(3)＝ln3－1>0，∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________.图(1)图(2)10[由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.]三、解答题9．判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．[解]法一(图象法)：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．[解]①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；③当a<0时，对称轴x＝<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－，此时f(x)＝－x2－x－1＝－＝0，所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－.11．(多选题)若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．1B.C．－D．－AD[ 函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－，故选AD.]12．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)C[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]13．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．(0,4)[由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方...
