课堂达标(五十八)直接证明与间接证明[A基础巩固练]1．(2018·太原模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A．不成立B．成立C．不能断定D．与n取值有关[解析]因为Sn＝2n2－3n，所以n＝1时a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1时适合an，且an－an－1＝4，故{an}为等差数列，即命题成立．[答案]B2．(2018·宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0[解析]0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.[答案]C3．(2018·上饶月考)设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2[解析]因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当x＝y＝z时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.[答案]C4．(2018·山西质量监测)对累乘运算∏有如下定义：k＝a1×a2×…×an，则下列命题中的真命题是()A.k不能被10100整除B.＝22015C.(2k－1)不能被5100整除D.(2k－1)k＝[解析]因为(2k－1)k＝(1×3×5×…×2015)×(2×4×6×…×2014)＝1×2×3×…×2014×2015＝，故选D.[答案]D5．(2016·浙江卷)已知实数a，b，c()A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100[解析]举反例排除法：A．令a＝b＝10，c＝－110，排除此选项，1B．令a＝10，b＝－100，c＝0，排除此选项，C．令a＝100，b＝－100，c＝0，排除此选项．故选D.[答案]D6．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A．②③B．①②③C．③D．③④⑤[解析]若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.[答案]C7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是______．[解析]取a＝2，b＝1，得m0，显然成立．[答案]m0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝__________.[解析]通过等差数列的结论类比推理可得：若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝.证明如下：设等比数列的首项为b1，公比为q≠0.则bm＝c＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，化为＝b·q(n－m)(n＋m－1)，∴＝b1qn＋m－1＝bm＋n.2[答案]10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.[证明]a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．[B能力提升练]1．(2018·福州模拟)设00，b>0，a，b为常数，＋的最小值是()A．4abB．2(a2＋b2)C．(a＋b)2D．(a－b)2[解析](x＋1－x)＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当x＝时，等号成立．[答案]C2．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，...
