第五节绝对值不等式及柯西不等式(选修4－5)[考情展望]1.考查含绝对值不等式的解法.2.利用不等式的性质求最值.3.利用柯西不等式求一些特定函数的最值．一、绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．定理1的放缩功能|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．定理2的推论推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.二、绝对值不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|
a的解集分类解集不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R2|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法3．|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：解绝对值不等式的基本方法：零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基本方法．其操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．含绝对值不等式的常见类型及其转化方法1．形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式|f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[f(x)]2.2．形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式(1)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)；(2)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．3．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式a＜|f(x)|＜b⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.4．形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0；|f(x)|＜f(x)⇔x∈∅.5．含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法(1)零点分段法，通过讨论去掉绝对值符号．(2)利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义求解．三、柯西不等式1．二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a、b、c、d∈R，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在O两旁时，等号成立2.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当b1＝b2＝…＝bn＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．1．设ab>0，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④【解析】 ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．【答案】C2．不等式|x－2|＞x－2的解集是()A．(－∞，2)B．(－∞，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】|x－2|＞x－2同解于x－2＜0，∴x＜2.【答案】A3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．【解析】 |x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.【答案】(－∞，1)4．已知非负实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＋x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z的最大值为________．【解析】由已知可得2＋(y＋1)2＋2＝，则2≤(12＋12＋12)＝3＝，从而x＋y＋z≤.当且仅当x＋＝y＋1＝z＋＝时，等号成立．即当x＝1，y＝，z＝0时，x＋y＋z取得最大值.【答案】5．(2013·大纲全国卷)不等式|x2－2|＜2的解集是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】D6．(2013·重庆高考)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|
