第四节平面向量应用举例【最新考纲】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：ɑ∥b⇔ɑ＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ɑ⊥b⇔ɑ·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算，①cos〈ɑ，b〉＝＝，②|AB|＝|AB|＝＝．2．向量在物理学中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．()(3)在△ABC中，若AB·BC＜0，则△ABC为钝角三角形．()(4)已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1＝(2，2)，f2＝(－2，3)，则|f3|为5.()解析：(1)、(2)显然正确．在(3)中，AB·BC＝－BA·BC＜0，BA·BC＞0，则B为锐角，△ABC不一定为钝角三角形，(3)不正确．(4)中，由题意知f1＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5)，∴|f3|＝5.(4)正确．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．若(，1)是直线l的一方向向量，则直线l的倾斜角为()A.B.C.D.解析：由已知得直线l的斜率k＝，所以其倾斜角为.答案：A3．设向量ɑ＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ＝________．解析：ɑ＝(1，cosθ)，b＝(－1，2cosθ)． ɑ⊥b，∴ɑ·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝0.答案：04．(2014·山东卷)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析：已知A＝，由题意得|AB||AC|cos＝tan，|AB||AC|＝，所以△ABC的面积S＝|AB||AC|sin＝××＝.答案：5．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：如图所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在静水中的速度，v表示小船的实际速度，则|v2|＝＝2(m/s)．答案：2m/s一种手段实现平面向量与三角函数、平面几何与解析几何之间转化的主要手段是向量的坐标运算．两点注意1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与现象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意交换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．一、选择题1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.答案：D2．已知△ABC中，AB·BC＋AB2＝0，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形解析：AB·BC＋AB2＝0化为AB·(BC＋AB)＝0，即AB·AC＝0，所以AB⊥AC.所以△ABC为直角三角形．又根据条件，不能得到|AB|＝|AC|.答案：D3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．2B．2C．2D．6解析：如右图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28.∴|F3|＝2.答案：A4．平面上O，A，B三点不共线，设OA＝ɑ，OB＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.解析：因为cos〈ɑ，b〉＝，所以sin∠AOB＝sin〈ɑ，b〉＝，则S△AOB＝×|ɑ||b|×sin∠AOB＝.答案：C5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD.π解析： ＝－＝，∴T＝π，∴M，N，即，又OM·ON＝×＋A·(－A)＝0，∴A＝π.答案：B6．在平面上，AB1⊥AB2，|OB...
