第六节正弦定理和余弦定理A级·基础过关|固根基|1.在△ABC中，若＝，则B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B由正弦定理知，＝，∴tanB＝1. 0°0，则cosC＝<0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C．5．(2019届昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A．B．C．D．2解析：选C如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C．6．(2020届湖北部分重点中学联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，＋＝，若b2＋c2－a2＝bc，则tanB的值为()A．－B．1C．－3D．3解析：选C因为＋＝，所以由正弦定理得＋＝＝1，即＋＝1.又b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得cosA＝，则sinA＝＝，则tanA＝＝，解得tanB＝－3，故选C．7．(2020届四川五校联考)在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD＝2CD＝2，则△ABC面积的最大值为()A．3B．2C．3D．4解析：选C如图，由BD＝2CD＝2，知BC＝3，由角平分线定理，得＝＝2，设AC＝x，∠BAC＝2α，α∈，则AB＝2x，由余弦定理，得32＝4x2＋x2－2·2x·x·cos2α，即x2＝.S△ABC＝·2x·x·sin2α＝x2·sin2α＝＝＝＝＝≤＝3，当且仅当＝9tanα，即tanα＝时取等号，故△ABC面积的最大值为3.8．(2020届合肥调研)在△ABC中，A＝2B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于点D，则线段AD的长为________．解析：解法一：因为A＝2B，BC＝4，所以由正弦定理＝，得＝＝，所以cosB＝且AC>2，由余弦定理AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB，得AC2＝42＋－2×4××，即9AC3－193AC＋336＝0，得(AC－3)(3AC－7)(3AC＋16)＝0，解得AC＝或AC＝3.当AC＝时，△ABC为等腰三角形，且cosB＝，2B＝2∠ACB＝A，由三角形内角和定理A＋B＋∠ACB＝π，得B＝，与cosB＝矛盾，舍去；当AC＝3时，由三角形的角平分线定理，得＝，即＝，解得AD＝1.综上可得，AD＝1.解法二：因为A＝2B，BC＝4，所以由正弦定理＝，得＝＝，所以cosB＝，则cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝－1.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，由正弦定理可得ACcosA＋BCcosB＝AB，即AC·＋4·＝，解得AC＝－(舍去)或AC＝3，由三角形的角平分线定理，得＝，即＝，解得AD＝1.答案：19．(2019年天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csinB＝4asinC．(1)求cosB的值；(2)求sin的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得，cosB＝＝＝－.(2)由(1)可得，sinB＝＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝－，cos2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.10．(2020届石家庄摸底)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosA＋a＝c，D是BC边上的点．(1)求角B；(2)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．解：(1)由bcosA＋a＝c及正弦定理，得sinBcosA＋sinA＝sinC，即sinBcosA＋sinA＝sin(A＋B)，所以sinBcosA＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinA＝sinAcosB． sinA≠0，∴cosB＝，∴B＝.(2)在△ADC中，A...
