第二节平面向量的基本定理及坐标表示【最新考纲】1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量ɑ，有且只有一对实数λ1，λ2，使ɑ＝λ1e1＋λ2e2．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量ɑ，有且只有一对实数x、y，使ɑ＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量ɑ的坐标，记作ɑ＝(x，y)．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，ɑ－b＝(x1－x2，y1－y2)，λɑ＝(λx1，λy1)，|ɑ|＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝．4．平面向量共线的坐标表示设ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.ɑ∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，AB，AC可以作为基底．()(2)在△ABC中，设AB＝ɑ，BC＝b，则向量ɑ与b的夹角为∠ABC.()(3)若ɑ，b不共线，且λ1ɑ＋μ1b＝λ2ɑ＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ∥b的充要条件可以表示成＝.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．(2015·四川卷)设向量ɑ＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝()A．2B．3C．4D．6解析： ɑ∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.答案：B3．已知平面向量ɑ＝(2，－1)，b＝(1，3)，那么|ɑ＋b|等于()A．5B.C.D．13解析：因为ɑ＋b＝(2，－1)＋(1，3)＝(3，2)，所以|ɑ＋b|＝＝.答案：B4．已知向量ɑ＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2ɑ－b＝()A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)解析：2ɑ－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．答案：A5．在下列向量组中，可以把向量ɑ＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，ɑ＝(3，2)＝2e1＋e2)．答案：B一个区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝ɑ，点A的位置被向量ɑ唯一确定，此时点A的坐标与ɑ的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量ɑ＝OA＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．两点提醒1．若ɑ，b为非零向量，当ɑ∥b时，ɑ，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．2．若ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0，不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.三个结论1．若ɑ与b不共线，λɑ＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．平面向量的基底中一定不含零向量．一、选择题1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析：AB＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.答案：A2．已知向量ɑ＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足ɑ＋2b＝kc，则c可以是()A．(，－1)B．(－1，－)C．(－，－1)D．(－1，)解析： ɑ＋2b＝kc，∴(，1)＋2(0，－2)＝kc，则c＝(，－3)．答案：D3．(2016·朝阳一模)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D．1解析： M为边BC上任意一点，∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)． N为AM的中点，∴AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.答案：A4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量α在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则ɑ在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析： ɑ在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即ɑ＝...
