第46讲基本不等式1．(2016·合肥市二模)若a，b都是正数，则(1＋)(1＋)的最小值为(C)A．7B．8C．9D．10(1＋)(1＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时，取“＝”，故选C.2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a1，即v>a.3．(经典真题)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(C)A.B．2C．2D．4由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(B)A．3B．4C.D.利用基本不等式，x＋2y＝8－x·(2y)≥8－()2，整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号．5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为____.因为a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，所以2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当时等号成立，即时取到等号．6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为20m.设矩形的高为y(m)，面积为S(m2)，由三角形相似得＝，即x＋y＝40.所以S＝xy≤()2＝400，当且仅当x＝y＝20时等号成立．7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1.(1)求＋的最小值；(2)求log2x＋log2y的最大值．(1)因为＋＝(＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当＝，即x＝，y＝时，取“＝”．所以＋的最小值为9.(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(·4x·y)≤log2[()2]＝log2＝－4，当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时取“＝”．所以log2x＋log2y的最大值为－4.8．(2017·四川泸化中学月考)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(D)A．1B．2C．3D．4(方法1)因为a>b>0，a2＋＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋＝a2＋≥4，当且仅当a＝2b＝时取“＝”，故选D.(方法2)a2＋＋＝a(a－b)＋＋＋ab≥2＋2＝4.当且仅当即时取“＝”．所以a2＋＋的最小值为4.9．(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为__9__．(方法1)如图(1)，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，所以ac·sin120°＝c×1×sin60°＋a×1×sin60°，所以ac＝a＋c.所以＋＝1.所以4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当＝，即c＝2a时取等号．(方法2)如图(2)，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1，0)，A(，－c)，C(，a)．又A，D，C三点共线，所以＝，所以ac＝a＋c.以下同方法1.10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为x米，两侧砖墙长为y米，且x，y>0.顶部面积S＝xy，依题意得，400x＋900y＋200xy＝32000，由基本不等式得32000＝400x＋900y＋200xy≥2＋200xy＝1200＋200xy，即32000≥1200＋200S，即S＋6－160≤0，令t＝(t>0)，得t2＋6t－160≤0，即(t－10)(t＋16)≤0，所以0
