高考数学大一轮复习 5.4平面向量应用举例教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

§5.4平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．(√)(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．(√)(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．(√)(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．(×)(5)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为.(√)(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)1．直线x＋y＋t＝0与圆x2＋y2＝2相交于M、N两点，已知O是坐标原点，若|OM＋ON|≤|MN|，则实数t的取值范围是．答案[－，]解析由|OM＋ON|≤|MN|＝|ON－OM|两边平方得OM·ON≤0，所以圆心O到直线的距离d＝≤r＝1，解得－≤t≤.2．(2014·山东改编)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝.答案解析 a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，∴3＋m＝××cos，∴m＝.3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为．答案y2＝8x(x≠0)解析由题意得AB＝，BC＝，又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即·＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．4．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为m/s.答案2解析如图所示小船在静水中的速度为＝2m/s.题型一向量在平面几何中的应用例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.思维点拨正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<)，则A(0,1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)，∴PA＝(－λ，1－λ)，EF＝(λ－1，－λ)，∴|PA|＝＝，|EF|＝＝，∴|PA|＝|EF|，即PA＝EF.思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．(1)在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则AC·AE＝.(2)在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积的比值是．答案(1)(2)解析(1)建立如图平面直角坐标系，则A(－，0)，C(，0)，B(0，－)．∴E点坐标为(，－)，∴AC＝(，0)，AE＝(，－)，∴AC·AE＝×＝.(2)由已知可得PC＝2AP，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC...