6.2.3平面向量的坐标及其运算课后篇巩固提升夯实基础1.已知点A(1,0),B(3,2),则⃗AB=()A.(0,-1)B.(1,-1)C.(2,2)D.(-1,0)答案C解析因为A(1,0),B(3,2),所以⃗AB=(2,2).故选C.2.在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是()A.2❑√5B.52❑√5C.3❑√5D.72❑√5答案B解析由题意知:BC中点为D(32,6),∴⃗AD=(-52,5),∴|⃗AD|=❑√254+25=5❑√52.故选B.3.已知向量a,b满足a=(1,2),b=(2,0),则2a+b=()A.(4,4)B.(2,4)C.(2,2)D.(3,2)答案A解析由题得2a+b=(2,4)+(2,0)=(4,4).故选A.4.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|=()A.3❑√2B.3C.x1x2D.5答案A解析因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),因此|a+2b|=❑√9+9=3❑√2.故选A.5.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的取值范围是()A.[-1,1]B.[-❑√2,❑√2]C.[0,❑√2]D.[❑√2,+∞)答案B解析 a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-❑√2≤y≤❑√2.∴y的取值范围是[-❑√2,❑√2].故选B.6.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则3x+2y的最小值是()A.53B.83C.16D.8答案D解析因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么3x+2y=13(3x+2y)(2x+3y)=1312+9yx+4xy≥13(12+2❑√9yx·4xy)=8,等号成立的条件为9yx=4xy时,{2x=3y,2x+3y=3,解得x=34,y=12.所以原式的最小值为8,故选D.7.若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三点共线,则a=.答案-3解析依题意,得⃗AB=(a-1,-4),⃗AC=(2,-1-a).由⃗AB∥⃗AC,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3.经检验知a=-3满足题意.8.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为.答案2解析因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1)因为|a-b|=|a+b|,所以有❑√(x-1)2+9=❑√(x+1)2+1⇒x=2.9.已知⃗OA=(1,1),⃗OB=(3,-1),⃗OC=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若⃗AC=2⃗AB,求点C的坐标.解由题意知,⃗AB=⃗OB−⃗OA=(2,-2),⃗AC=⃗OC−⃗OA=(a-1,b-1).(1) A,B,C三点共线,∴⃗AB∥⃗AC,∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.(2) ⃗AC=2⃗AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),∴{a-1=4,b-1=-4,解得{a=5,b=-3.∴点C的坐标为(5,-3).10.已知向量a=(3,2),b=(-1,2).(1)求|a-2b|的值;(2)若3a-b与a+kb共线,求实数k的值.解(1)a-2b=(5,-2),∴|a-2b|=❑√52+(-2)2=❑√29.(2)3a-b=(10,4),a+kb=(3-k,2+2k), 3a-b与a+kb共线,∴10(2+2k)-4(3-k)=0.解得:k=-13.能力提升1.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=()A.-32a-12bB.-32a+12bC.-12a+32bD.12a-32b答案D解析 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),∴a,b不共线,故选取a,b作为一组基向量,则c=xa+yb.即(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1).所以{x+y=-1,x-y=2,解得{x=12,y=-32.所以c=12a-32b,故选D项.2.已知向量a=(sinα,12),b=12,cosα0<α<π4,且a∥b,则cos(α+π4)=()A.12B.-12C.-❑√32D.❑√32答案A解析向量a=(sinα,12),b=(12,cosα),且a∥b,所以根据向量平行的坐标运算可得,sinαcosα=12×12,由正弦二倍角公式化简可得sin2α=12.因为0<α<π4,所以α=π12.则cos(α+π4)=cos(π12+π4)=cosπ3=12.故选A.3.事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:❑√(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=❑√x2+4x+20+❑√x2+2x+10的最小值为()A.3❑√2B.4❑√2C.5❑√2D.7❑√2答案C解析f(x)=❑√x2+4x+20+❑√x2+2x+10=❑√(x+2)2+(0-4)2+❑√(x+1)2+(0+3)2,表示平面上点M(x,0)与点N(-2,4),H(-1,-3)的距离和,连接NH,与x轴交于M(x,0),由题得kMN=kNH,∴0-4x+2=4+3-2+1,∴x=-107,所以M(-107,0),∴f(x)的最小值为❑√(-2+1)2+(4+3)2=5❑√2,故选C.4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为.答案-2解析 ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),由于向量ma+4b与a-2b共线,所以,-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.5.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c);(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.解(1)向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),∴b+c=(10,k+7),令1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,∴当k=13时,a∥(b+c).(2)当k=1时,b...
