第六章第6节直接证明和间接证明[基础训练组]1．(导学号14577583)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A．不成立B．成立C．不能断定D．与n取值有关解析：B[因为Sn＝2n2－3n，所以n＝1时a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1时适合an，且an－an－1＝4，故{an}为等差数列，即命题成立．]2．(导学号14577584)(2018·济南市模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数解析：B[“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.]3．(导学号14577585)设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是()A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b解析：A[ a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，又 ＋>＋>＋>0，∴a>b>c.]4．(导学号14577586)设00，b>0，a，b为常数，＋的最小值是()A．4abB．2(a2＋b2)C．(a＋b)2D．(a－b)2解析：C[(x＋1－x)＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当x＝时，等号成立．]5．(导学号14577587)若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是()A．P>QB．P＝QC．Pb>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________.解析：法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m⇐a0，显然成立．答案：n>m7．(导学号14577589)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________.解析：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；(1)若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；(2)若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和38．(导学号14577590)(2018·邯郸市模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________.(填序号)解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③9．(导学号14577591)若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需证＜，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．10．(导学号14577592)(2018·临沂市三校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解析：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，2两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p
