4.3三角恒等变换考点一三角函数式的化简求值1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.B.C.D.2.计算:=________.3.化简:=________.【解析】1.选B.由2sin2α=cos2α+1得4sinαcosα=2cos2α,即2sinα=cosα,结合sin2α+cos2α=1,解得sinα=.2.=====2.答案:23.原式====1.答案:11.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式=====1.三角形法解T1,因为α∈,所以sinα>0,cosα>0,由2sin2α=cos2α+1得4sinαcosα=2cos2α,即2sinα=cosα,tanα=,画直角三角形如图,不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sinα=.考点二条件求值问题命题精解读考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.学霸好方法条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.(2)升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).(4)辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ)其中sinφ=,cosφ=给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:-=________.【解析】-====4.答案:4给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.【解析】1.由sinα+cosβ=1与cosα+sinβ=0分别平方相加得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,所以sin(α+β)=-.答案:-2.因为tan=tan=,所以=,解得tanα=.答案:给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β值是________.【解析】因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.又sinα=,所以cosα=,sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,所以β=.答案:如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.1.化简:=________.【解析】原式===.答案:2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2+cos=,且sinB=,则A+B=()A.B.C.D.【解析】选C.因为sin2+cos=,所以+cosA-sinA=,即-sinA=,解得sinA=.因为A为钝角,所以cosA=-=-=-.由sinB=,且B为钝角,得cosB=-=-=-.所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=.又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.3.(2020·佛山模拟)已知cosα=,α∈(-π,0),则cos=()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为cosα=,α∈(-π,0),所以sinα=-=-,所以cos=cosαcos+sinαsin=×+×=-.1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=()A.B.-C.D.-【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)=sin215°-cos215°=-cos30°=-.2.定义运算=ad-bc.若cosα=,=,0<β<α<,则β=________.【解析】由已知得sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)==,而cosα=,所以sinα=,于是sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,所以β=.答案:考点三三角恒等变换的综合应用【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α<,则PM=1-sinα,PN=2-cosα,则周长C=6-2(sinα+cosα)=6-2sin,因为0≤α<...
