第6讲抛物线一、选择题1
(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A
2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2)
代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D
点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A
y＝12x2B
y＝12x2或y＝－36x2C
y＝－36x2D
y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________
解析y2＝2px的准线为x＝－
由于△ABF为等边三角形
因此不妨设A，B，又点A，B在双曲线y2－x2＝1上，从而－＝1，所以p＝2
答案2三、解答题9
(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围
(1)解 l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0)
即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4
∴抛物线C的方程为y2＝8x
(2)①证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)
则则∴kPQ＝＝，又 P，Q关于l对称
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又 PQ的中点一定在l上，∴＝＋2＝2－p
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)
②解 PQ的中点为(2－p，－p)，∴即∴即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根
即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，故所求p的范围为
