第3讲平面向量的数量积及应用举例1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝2，则n·BC等于()A．－2B．2C．0D．2或－2解析：选B.n·BC＝n·(BA＋AC)＝n·BA＋n·AC＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2016·江西省九校联考)在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则CD·CB＝()A．－B.C.D．－解析：选B.CD·CB＝CD·(CA＋AB)＝CD·CA＋0＝|CD|·|CA|·cos∠ACD＝×3×cos60°＝.3．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选C.设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|·cosθ＝，且|a|＝1，所以|b|cosθ＝.①又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②由①②得cosθ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.4．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为()A.B.C.D.解析：选A.设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)．5．已知AB，AC是非零向量，且满足(AB－2AC)⊥AB，(AC－2AB)⊥AC，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.因为(AB－2AC)⊥AB⇒(AB－2AC)·AB＝0，即AB·AB－2AC·AB＝0.(AC－2AB)⊥AC⇒(AC－2AB)·AC＝0，即AC·AC－2AB·AC＝0，所以AB·AB＝AC·AC＝2AB·AC，即|AB|＝|AC|，而cosA＝＝，所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．6．(2016·沈阳一模)在△ABC中，已知|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则AE·AF＝()A.B.C.D.解析：选B.因为|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以AB2＋AC2＋2AB·AC＝AB2＋AC2－2AB·AC，即有AB·AC＝0，因为E，F为边BC的三等分点，不妨设E为靠近C的三等分点，则AE·AF＝(AC＋CE)·(AB＋BF)＝·＝·＝AC2＋AB2＋AB·AC＝×(1＋4)＋0＝，故选B.7．(2016·江西省模拟)已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝________．解析：由题意得a·b＝－1，所以|a＋b|＝＝.答案：8．(2016·江西省九校联考)在△ABC中，AB＝(，)，AC＝(1，)，则△ABC的面积为________．解析：由于AB＝(，)，AC＝(1，)，则有|AB|＝，|AC|＝，那么cos∠BAC＝＝，可得sin∠BAC＝＝，故△ABC的面积为S＝|AB||AC|sin∠BAC＝1－.答案：1－9．(2016·山西省第一次四校联考)已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则向量BA在向量BC方向上的投影为________．解析：因为AB＋AC＝2AO，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有|OA|＝|AC|，所以∠B＝30°.由定义知，向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cosB＝2×＝3.答案：310．(2015·高考安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.解析：因为AB2＝4|a|2＝4，所以|a|＝1，故①正确；因为BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，所以|BC|＝|b|＝2，故②错误；因为b＝AC－AB，所以a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错1误；因为BC＝b，故④正确；因为(AB＋AC)·(AC－AB)＝AC2－AB2＝4－4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，故⑤正确．答案：①④⑤11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4.②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.所以|4a－2b|＝16.(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.所以k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．12．(2016·河北省监测)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D为线段BC上的点，E为...
