高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.5 垂直关系课时规范训练 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何7.5垂直关系课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·佳木斯名校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为lβ，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或mβ，又lβ，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，lβ，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为lβ，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.答案：D3．(2016·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，二面角α－l－β为45°，ABβ，且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H.连接OH、OB，则∠AHO为二面角α－l－β的平面角，∠ABO为AB与平面α所成角．不妨设AH＝，在Rt△AOH中，易得AO＝1；在Rt△ABH中，易得AB＝2.故在Rt△ABO中，sin∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，为所求线面角．答案：A4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α，则l与α相交②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为________．解析：由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n，又l⊥α，故n⊥α从而③正确；由m⊥α，n⊥α知m∥n，故l∥n，故④正确．答案：①③④5．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：由题意知AC⊥BC，对于①，若PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M为△ABC的外心，所以MA＝MB＝MC. PM⊥平面ABC，则PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知PA＝PB＝PC，故②正确；对于③，要使△PCM的面积最小，只需CM最短，在Rt△ABC中，CMmin＝，∴S△PCMmin＝××5＝6，故③错误；对于④，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为△ABC的内心，由平面几何知识得△ABC的内切圆半径r＝1，且OC＝，在Rt△POC中，PO＝＝，∴点P到平面ABC的距离为，故④正确．答案：①②④6．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．若PA＝2，则△OAB的面积为________．解析：将直四棱锥补成长方体如图：球O的直径2R＝＝4，∴R＝2.S△OAB＝×2×3＝3.答案：37.(2016·山东高考预测题)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．(1)求证：MN∥平面DCC1；(2)试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC.解：(1)证法一：如图，连接AC1，因为M，N分别为AB，BC1的中点，故MN∥AC1，又AC1平面DCC1，MN平面DCC1，故MN∥平面DCC1.证法二：如图，取BC的中点G，连接GN，GM，则GN∥CC1，又CC1⊂平面DCC1，GN⊄平面DCC1，故GN∥平面DCC1.同理可知GM∥平面DCC...