【大高考】2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算模拟创新题理一、选择题1.(2016·陕西安康模拟)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A.e2B.eC.D.ln2解析f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1.∴lnx0＋1＝2，得lnx0＝1，即x0＝e.答案B2.(2016·广东惠州模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()A.x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0B.x－y－2＝0C.x－y＋2＝0D.x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0解析由于点(1，－1)在y＝x3－2x上，当(1，－1)为切点时，切线斜率为y′|x＝1＝1，切线方程为y＝x－2.当(1，－1)不是切点时，设切点为(x0，x－2x0)，可得切线方程为y－x＋2x0＝(3x－2)·(x－x0)，又切线过点(1，－1)，可得x0＝－，故切线方程为5x＋4y＝1.答案A3.(2015·陕西西安模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为()A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(－1，－4)D.(2，8)和(－1，－4)解析设p0(x0，y0)，则3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4).故选C.答案C二、填空题4.(2016·河北沧州高三上学期质量检测)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1(a＞0，b＞0)，则函数g(x)＝alnx＋在点(b，g(b))处切线的斜率的最小值是______.解析因为a＞0，b＞0，又g′(x)＝＋，则g′(b)＝＋＝＋≥2，所以斜率的最小值为2.答案2三、解答题5.(2015·绵阳诊断)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范围是∪.创新导向题在某点处导数几何意义的应用6.设x∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.B.－C.ln2D.－ln2解析y＝f′(x)＝ex－ae－x，∵y＝f′(x)为奇函数，∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f′(x)＝ex－e－x，由ex－e－x＝得ex＝2，x＝ln2.答案C专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016·贵州模拟)若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)x2－x，则f′(1)的值为()A.0B.2C.1D.－1解析因为f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，令x＝1得f′(1)＝1－2f′(1)－1.所以f′(1)＝0，故选A.答案A8.(2015·山东潍坊模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象是()解析因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx为奇函数，且f′<0，故选A.答案A二、填空题9.(2016·山东师大附中10月第二次模拟)设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________.解析f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|－lnx|＝－1＝－.答案－10.(2015·广东模拟)设球的半径为时间t的函数R(t)，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________.解析设球的体积以均匀速度c增长，由题意可知球的体积为V(t)＝πR3(t)，则c＝4πR2(t)R′(t)，则＝4πR(t)，则球的表面积的增长速度为V表＝S′(t)＝(4πR2(t))′＝8πR(t)R′(t)＝，即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V表·R(t)＝2c＝1.答案1三、解答题11.(2015·湖南十二校联考)已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围.解(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)，即8x－y－2＝0.(2)由已知得a>＝x＋，设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－，∵1≤x≤2，∴g′(x)<0，∴g(x)在[1，2]上是减函数.g(x)min＝g(2)＝，∴a>，即实数a的取值范围是.创新导向题利用定积分求平面图形的面积12.函数f(x)＝的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________.解析由题意知所求面积为(x＋1)dx＋exdx＝|＋ex|＝－＋(e－1)＝e－.答案e－
