第70讲绝对值不等式课时达标1．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤5；(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．而|x－2|＋|x－a|≥|(2－x)＋(x－a)|＝|a－2|，所以(|x－2|＋|x－a|)min＝|a－2|，所以|a－2|≥a，所以a≤0或解得a≤1，故a的取值范围为(－∞，1]．2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图像．(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解析(1)整理f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|可得f(x)＝故y＝f(x)的图像如图：(2)由(1)知y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.3．(2019·惠州第二次调研)设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，求实数a的取值范围．解析(1)因为f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|，所以f(x)＝f(x)>4等价于或或解得x<－2或01.综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)因为存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，所以a＋1>f(x)min.由(1)知，x∈时，f(x)＝x＋4，当x＝－时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝，所以a＋1>，解得a>，所以实数a的取值范围为.4．设对于任意实数x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.解析(1)设f(x)＝|x＋7|＋|x－1|，则有f(x)＝当x<－7时，f(x)>8；当－7≤x≤1时，f(x)＝8；当x>1时，f(x)>8.综上，f(x)有最小值8，所以m≤8，故m的取值范围为(－∞，8]．(2)当m取最大值时，m＝8.原不等式等价于|x－3|－2x≤4，等价于或等价于x≥3或－≤x<3.所以原不等式的解集为.5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析(1)f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，故m的取值范围为.6．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.解析(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.因为方程|x－2|＋|x－1|＝4的解为x1＝－，x2＝，所以原不等式的解集为∪.(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，所以解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)．所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥4.
