第70讲绝对值不等式课时达标1．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤5；(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．而|x－2|＋|x－a|≥|(2－x)＋(x－a)|＝|a－2|，所以(|x－2|＋|x－a|)min＝|a－2|，所以|a－2|≥a，所以a≤0或解得a≤1，故a的取值范围为(－∞，1]．2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|
(1)画出y＝f(x)的图像．(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解析(1)整理f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|可得f(x)＝故y＝f(x)的图像如图：(2)由(1)知y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5
3．(2019·惠州第二次调研)设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|
(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，求实数a的取值范围．解析(1)因为f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|，所以f(x)＝f(x)>4等价于或或解得x4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)因为存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，所以a＋1>f(x)min
由(1)知，x∈时，f(x)＝x＋4，当x＝－时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝，所
