考点27空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2016·山东高考文科·T6)同(2016·山东高考理科·T6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用线线、线面、面面关系及充要条件的判断方法解题.【解析】选A.若“直线a和直线b相交”,则它们一定有公共点,而又直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,所以平面α,β一定存在公共点,所以“平面α和平面β相交”;反过来,“平面α和平面β相交”,而“直线a和直线b也可能平行或异面”,所以是充分不必要条件.二、填空题2.(2016·浙江高考文科·T14)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.【解析】借助余弦定理及三角函数的有界性解答.如图,作D'F⊥AC于点F,作BE⊥AC于点E,作FM垂直于过点B平行于AC的直线,垂足为M,则∠D'BM是AC与BD'所成的角(或其补角).在△AD'C中,D'C=1,AD'=,∠AD'C=90°,所以AC=,D'F=,CF=.在△BAC中,BC=BA=3,BE=,而AE=,所以EF=.因为MF=BE=,所以D'M===.因为BM=EF=,所以BD'=,所以cos∠D'BM=,所以直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.答案:三、解答题3.(2016·天津高考文科·T17)(本小题满分13分)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点.(1)求证:FG∥平面BED.(2)求证:平面BED⊥平面AED.(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【解题指南】(1)取BD的中点为O,可证四边形OGFE是平行四边形,从而得出FG∥OE.(2)由余弦定理解出∠ADB=90°,即BD⊥AD,然后再证明BD⊥平面AED,得出平面BED⊥平面AED.(3)过点A作AH⊥DE于点H,则AH⊥平面BED,从而直线AB与平面BED所成角即为∠ABH,再结合三角形可求得直线EF与平面BED所成角的正弦值.【解析】(1)取BD的中点为O,连接OE,OG,在△BCD中,因为G是BC的中点,所以OG∥DC且OG=DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,所以FG∥平面BED.(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=,进而可得∠ADB=90°,即BD⊥AD,又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD;平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED,所以平面BED⊥平面AED.(3)因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.过点A作AH⊥DE于点H,连接BH,又因为平面BED∩平面AED=ED,由(2)知AH⊥平面BED,所以直线AB与平面BED所成角即为∠ABH.在△ADE中,AD=1,DE=3,AE=,由余弦定理可得cos∠ADE=,所以sin∠ADE=,因此AH=AD·sin∠ADE=,在Rt△AHB中,sin∠ABH=,所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.
