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首页文档中学教育高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用课后提升训练（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题

高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用课后提升训练（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题VIP免费

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第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知00.∴x(1-x)≤(x+1-x2)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.答案B2.(多选题)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有()A.ab>1B.ab<1C.a2+b22<1D.a2+b22>1解析因为ab≤a+b22,a≠b,所以ab<1.又1=(a+b)24=a2+b2+2ab41,所以ab<1yB.x❑√2yD.y<❑√2x解析x2=a+b+2❑√ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,∴xx(x>0)B.x+1x≥2(x>0)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;B中,当x>0时,不等式x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+1≥1,所以0<1x2+1≤1,所以D不成立.答案BC5.已知当x=3时,代数式4x+ax(x>0,a>0)取得最小值,则a=.解析4x+ax≥2❑√4x·ax=4❑√a(x>0,a>0),当且仅当4x=ax,即x=❑√a2时等号成立,所以❑√a2=3,即a=36.答案366.已知x>0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为,取得最大值时y的值为.解析因为x>0,y>0且1=x3+y4≥2❑√xy12,所以xy≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号.答案327.求函数y=(x+4)(x+9)x的最值.解当x>0时,y=13+x+36x≥13+2❑√x·36x=25,当且仅当x=36x,即x=6时取等号.所以当x=6时,ymin=25.当x<0时,-x>0,-36x>0,(-x)+(-36x)≥2❑√(-x)(-36x)=12.所以y=13-[(-x)+(-36x)]≤13-12=1.当且仅当-x=-36x,即x=-6时取等号,所以当x=-6时,ymax=13-12=1.能力提升练1.若a,b∈Z,且a+b=0,则2a+2b的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析因为a,b∈Z,所以2a>0,2b>0,所以2a+2b≥2❑√2a·2b=2❑√2a+b=2,当且仅当a=b=0时,等号成立.所以2a+2b的最小值是2.答案A2.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2❑√(x+1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.答案C3.已知a>b>c,则❑√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥❑√(a-b)(b-c).当且仅当b=a+c2时取等号.答案❑√(a-b)(b-c)≤a-c24.若正数a,b,c满足1a+4b+9c≤36a+b+c,则2b+3ca+b+c=.解析由1a+4b+9c≤36a+b+c,得(1a+4b+9c)(a+b+c)≤36,即1+ba+ca+4+4ab+4cb+9+9ac+9bc≤36,即ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc≤22.又因为ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=(ba+4ab)+(4cb+9bc)+(ca+9ac)≥22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.所以ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=22,得b=2a,c=3a.所以2b+3ca+b+c=4a+9aa+2a+3a=136.答案1365.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.解∵(x+y)(1x+ay)=1+a+yx+axy,又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2❑√yx·axy=2❑√a,∴1+a+yx+axy≥1+a+2❑√a,∴要使(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2❑√a≥9恒成立即可.∴(❑√a+1)2≥9,即❑√a+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.素养培优练若a>0,b>0,且(a+b)❑√ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为❑√63?并说明理由.解(1)∵(a+b)❑√ab=1,∴(a+b)=1❑√ab.∵a>0,b>0,∴(a+b)≥2❑√ab,当且仅当a=b时取等号,∴1❑√ab≥2❑√ab,∴ab≤12.当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为12.(2)不存在.理由如下,∵a>0,b>0,∴12a+13b≥2❑√12a·13b=2❑√6ab≥2❑√33,当且仅当a=b时,等号成立.∵❑√63<2❑√33,∴不存在a,b使得12a+13b的值为❑√63.
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