十三、《概率与统计》变式题命题人：广州市第三中学刘窗洲1．（人教A版选修2-3第66页例4）某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率？变式1：某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为．【解析】：他能及格则要解对4道题中解对3道或4道：解对3道的概率为：，解对4道的概率为：，且A与B互斥，他能及格的概率为．变式2：设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．【解析】（I）设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为恰有两人命中目标的概率为答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44．（2）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中用心爱心专心事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为答：他恰好命中两次的概率为0.441.变式3：在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：（1）中国女排在这种情况下取胜的概率；（2）求本场比赛只打四局就结束的概率．（均用分数作答）【解析】（1）中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为（2）变式4：一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求.【解析】设正面向上的概率为P,依题意:,1-P=2P,解得:,硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:.2．（人教A版选修2-3第77页例4）随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差。变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为，现在连续射击4次，求击中目标的次数ξ的概率分布．【解析】击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4。当ξ=0时，，用心爱心专心当ξ=1时，，当ξ=2时，，当ξ=3时，，当ξ=4时，，所以ξ的分布列为：ξ01234P变式2：袋中有１２个大小规格相同的球，其中含有２个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．【解析】ξ的所有可能的取值为：0，1，2．当ξ=0时，，当ξ=1时，，当ξ=2时，，ξ012P评述：++==1．变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率.用心爱心专心【解析】（1）可能取的值为0，1，2。．所以，的分布列为012P（2）由（1），的数学期望为（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为．变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【解析】（1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：ξ0123P3011032161甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59.（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P（A）=310361426CCCC=1202060=32，P（B）=310381228CCCC=1205656=1514.因为事件A、B相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P（BA）=P（A）P（B）=1－32）（1－1514）=451.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P（BA）=1－451=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.用心爱心专心方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）=32×151+31×1514+32×1514=4544.答：...
