专题04函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用热点题型一求函数的定义域例1、(1)函数f(x)＝的定义域为()A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1)B.C．(－1,0)D.答案：（1）C（2）B【提分秘籍】1．求函数定义域的类型及方法(1)已知函数的解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解。(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解。(3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域。2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化。(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。【举一反三】若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为__________。解析：由题意，得2－1≥0对x∈R恒成立。即2≥20对x∈R恒成立。亦即x2＋2ax－a≥0对x∈R恒成立。故Δ＝4a2＋4a≤0，得－1≤a≤0。所以，a的取值范围是[－1,0]。答案：[－1,0]热点题型二求函数的值域例2、求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝x－；(3)y＝＋(x＞1)；(4)y＝。解析：(1)解法一：y＝1－， x2＋1≥1，∴0＜≤1，∴－2≤－＜0，∴y∈[－1,1)。解法二：由y＝可得x2＝－， x2≥0，∴≤0，∴y∈[－1,1)。(4) ＝∈，∴y∈[2，＋∞)。【提分秘籍】求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域。(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域。(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域。(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域。(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域。(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。【举一反三】求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝x＋4；(4)y＝(x＞1)。解析：(1)y＝＝3＋≠3，值域为{y|y≠3}。(2)y＝， 2(x－1)2＋1≥1，∴y∈(0,5]。(3)令＝t≥0，∴y＝－t2＋4t＋1， t≥0，∴y∈(－∞，5]。(4)令x－1＝t＞0，x2＝t2＋2t＋1，∴y＝t＋＋2≥4，当且仅当t＝1时取等号。∴y∈[4，＋∞)。热点题型三求函数的解析式例3．(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知f＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式。解析：(1)由于f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2，或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)。(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x＞1)。(3)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17。即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7。(4) 2f(x)＋f＝3x，①∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，②由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)。【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。【举一反三】已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝，...
