课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1利用同角三角函数的基本关系求值1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.2．已知tanα＝，α∈，则cosα＝()A．±B.C．－D.3．若cosα＝－，α是第三象限角，则sinα＝________，tanα＝________．4．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈.求：(1)tanα；(2).题组2sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcosθ的值为()A.B．－C.D．－6．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝()A.B．2C．－D．－27．已知0＜θ＜π，且sinθ－cosθ＝，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．题组3三角函数式的化简与证明8．化简：.9．求证：＝.[能力提升综合练]1．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为()A．－B．－C.D.2．若α为第三象限角，则＋的值为()A．3B．－3C．1D．－13.sin2x等于()A．tanxB．sinxC．cosxD.4．当α≠(k∈Z)时，(sinα＋tanα)的值()A．恒为正B．恒为负C．恒非负D．可正可负5．已知sinθ＝，cosθ＝(m≠0)，则m＝______，tanθ＝________．6．若sinx＋cosx＝，那么sin4x＋cos4x的值为________．7．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及θ的值．答案[学业水平达标练]1.解析：选A因为α是第二象限角，所以cosα＜0，故cosα＝－＝－＝－.2.解析：选C由tanα＝，即＝，所以sinα＝cosα.又sin2α＋cos2α＝1，代入得＋cos2α＝1，整理得cos2α＝，解得cosα＝±.又α∈，所以cosα＜0，故cosα＝－.3.解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－＝.已知α是第三象限角，则sinα＜0，于是sinα＝－.从而tanα＝＝×＝.答案：－4.解：(1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝＝，则＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－或tanα＝1.∵a∈，∴α为第二象限角，∴tanα＜0，∴tanα＝－.(2)原式＝＝＝＝.5.解析：选A由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝.6.解析：选B由已知可得(cosα＋2sinα)2＝5，即4sin2α＋4sinαcosα＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α)，∴tan2α－4tanα＋4＝0，故tanα＝2.7.解：∵sinθ－cosθ＝，∴(sinθ－cosθ)2＝.解得sinθcosθ＝.∵0＜θ＜π，且sinθ·cosθ＝＞0，∴sinθ＞0，cosθ＞0.∴sinθ＋cosθ＝＝＝＝.由得∴tanθ＝＝.8.解：原式＝＝＝＝1.9.证明：法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝＝，右边＝＝＝＝＝，∴左边＝右边，原等式成立．[能力提升综合练]1.解析：选B∵sinα＝，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝－＝－.故选B.2.解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.3.解析：选Asin2x＝sin2x＝·sin2x＝＝tanx.4.解析：选A(sinα＋tanα)＝sinαcosα＋cosα·＋sinα·＋1＝sinα＋cosα＋1＋sinαcosα＝(1＋sinα)(1＋cosα)．∵α≠，k∈Z，∴1＋sinα＞0，1＋cosα＞0，故选A.5.解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴＋＝1.得m＝0(舍)，或m＝8.∴sinθ＝，cosθ＝－，tanθ＝＝－.答案：8－6.解析：由sinx＋cosx＝，得2sinxcosx＝1.由sin2x＋cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1.所以sin4x＋cos4x＝1－(2sinxcosx)2＝1－×1＝.答案：7.证明：法一：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2β＝.①∵tan2β＝，∴tan2β＝，∴sin2β＝＝＝.②由①②，得sin2β＝＝＝＝＝2sin2α－1.法二：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴＝2·.∴＝.∴cos2β＝2cos2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.8.解：因为已知方程有两根，所以(1)＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.(2)对①式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝.由②，得＝，所以m＝.由③，得m≤，所以m＝.(3)因为m＝，所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.解得x1＝，x2＝，所以或又因为x∈(0，2π)，所以θ＝或θ＝.
