第四节平面向量的拓展与应用Ｋ平面向量与数学的许多分支都有联系，在高考中涉及平面向量的应用主要有以下几方面：1．向量在平面几何中的应用：平面几何经常涉及距离(线段的长度)、夹角，而向量运算，特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题．利用向量方法处理几何问题一般有以下“三步曲”：(1)转化：用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．2．平面向量在物理中的应用：物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题．利用向量方法处理物理问题一般有以下“三步曲”：(1)表示：把物理问题的相关量用向量表示；(2)转化：转化为向量问题模型，通过向量的运算使问题得以解决；(3)还原：把运算结果“还原”成物理问题．3．平面向量与其他数学知识的综合应用：(1)向量与三角函数交汇的问题是高考经常出现的问题，命题以三角函数作为背景，是向量的坐标运算与解三角形、三角函数图象和性质综合的问题；(2)平面向量与函数、不等式交汇的问题，主要是向量与二次函数、均值不等式结合的问题为主，要注意自变量的取值范围；(3)向量与解析几何交汇的问题，其基本思想是利用向量的坐标表示，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的相关知识来解答．,Ｋ1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于(A)A．－B．－C.D.解析：由题知P为△ABC的重心，则PB＋PC＝－PA.则PA·(PB＋PC)＝－PA2＝－|PA|2＝－.故选A.2．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(A)A．1B．－1C.D.解析：由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，所以tanx＝1.故选A.3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(A)A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角4．把一个函数的图象按向量a＝(－3，2)平移后，得到的图象的解析式为y＝log2(x＋3)1＋2，则原来的函数解析式为y＝log2x．高考方向1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平面向量的数量积为联系工具解决三角函数、解析几何等问题是近几年高考命题的热点之一.2.三种题型都有可能出现，属中低档题.1．(2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(A)A.B.C.D.解析：因为a，b是单位向量，所以|a＋b|＝，|c－a－b|＝|(a＋b)－c|＝1，即一个模为的向量与向量c之差的模为1，在单位圆中可解得－1≤|c|≤＋1.故选A.2．(2013·辽宁卷)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(C)A．b＝a3B．b＝a3＋C．(b－a3)＝0D．|b－a3|＋＝0解析：易知AB＝OB－OA＝(a，a3－b)，且b≠0，a≠0，若A为直角，OA·AB＝(0，b)·(a，a3－b)＝b(a3－b)＝0，∴b－a3＝0，若B为直角，OB·AB＝(a，a3)·(a，a3－b)＝0，∴a2＋a3(a3－b)＝0，则b－a3－＝0，故(b－a3)＝0，故选C.1．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是(A)A．－B.C．2D．－2解析：设|PO|＝x,则(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝2|PO||PC|·cosπ＝－2x(3－x)＝2－，当x＝时，所求的最小值为－.故选A.2．在△ABC中，向量m＝(2cosB，1)，向量n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，且满足|m＋n|＝|m－n|.(1)求角B的大小；(2)求sinA＋sinC的取值范围．解析：(1)由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥n，得m·n＝0.而m＝(2cosB，1)，n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，所以有m·n＝2cosB－sin2B－1＋sin2B＝2cosB－1＝0，得cosB＝，所以B＝60°.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(120°－A)＝cosA＋sinA＝sin(A＋30°)．又0＜A＜120°，则30°＜A＋30°＜150°，所以＜sin(A＋30°)≤1，所以＜sinA＋sinC≤，...
