题组层级快练(六十八)1．若过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝()A．－2B．－C．－4D．－答案D解析由y＝2x2，得x2＝y.其焦点坐标为F(0，)，取直线y＝，则其与y＝2x2交于A(－，)，B(，)，∴x1x2＝(－)·()＝－.2．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k2－e2>1B．k2－e2<1C．e2－k2>1D．e2－k2<1答案C解析l与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是－
1，故选C.3．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A．3B．2C.D.答案C解析设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝.∴|AB|＝·＝.4．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，那么m的值等于()A.B.C．2D．3答案A解析因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减，得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为AF·BF＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0.把代入并整理，得k2＝.又k>0，所以k＝，故选B.7．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．答案－20，∴－20，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为________．答案解析由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，则PF1⊥PF2.又＝，联立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝.10．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若AF＝2FB，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．答案(1)±2(2)4解析(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为AF＝2FB，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点．从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S...
