高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算课时达标 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第13讲变化率与导数、导数的计算课时达标一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝()A．2B．0C．－2D．－4D解析f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.2．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B．C．－2D．2A解析因为y′＝，所以y′|x＝＝－1，由条件知＝－1，所以a＝－1.3.(2019·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2A解析因为y＝1－，所以y′＝，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝()A．0B．26C．29D．212D解析因为f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)·…·(x－a8)，所以f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′,＝(x－a1)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.5.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．B．C．D．B解析因为y＝，所以y′＝＝＝≥－1，又＜0，所以－1≤tanα<0.又因为0≤α<π，所以≤α<π.故选B．6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝()A．B．－C．D．－或D解析因为f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，所以f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，所以a＝－1，所以f(－1)＝－.二、填空题7．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解析由y＝－5ex＋3得y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.答案5x＋y＋2＝08．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析y′＝aex＋(ax＋1)ex＝ex(ax＋a＋1)，y′|x＝0＝e0(a＋1)＝a＋1＝－2，所以a＝－3.答案－39．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点坐标为________．解析因为y′＝－，所以解得x＝3.故切点坐标为.答案三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又因为直线l过原点(0,0)，所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．11．(2019·哈尔滨三中期中)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解析(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知解得－1≤k<0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．12．(2019·吉林校级联考)设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解析(1)由题意得y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①y1＝－x＋x1－4，②－2x1＋＝k，③联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝.(2)过点P作切线的垂线，其方程为y＝...