2.2.4均值不等式及其应用课后篇巩固提升夯实基础1.在区间[12,2]上,函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=x2+x+1x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[12,2]上的最大值是()A.134B.4C.8D.54解析g(x)=x2+x+1x=x+1x+1≥3,当且仅当x=1时,等号成立,即当x=1时取最小值3,所以f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x2-2x+4,易得在区间[12,2]上的最大值是f(2)=4-4+4=4.答案B2.若已知x,y,z为正实数,则xy+yzx2+y2+z2的最大值为()A.1B.2C.❑√22D.❑√2解析∵x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥❑√2(xy+yz),当且仅当x=1❑√2y=z时取等号.∴xy+yzx2+y2+z2≤xy+yz❑√2(xy+yz)=❑√22.答案C3.设a>0,b>0.若❑√3是3a与32b的等比中项,则2a+1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14解析由题意可知3=3a32b=3a+2b,即a+2b=1.因为a>0,b>0,所以2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=ab+4ba+4≥2❑√ab·4ba+4=8,当且仅当ab=4ba,即a=2b=12时取“=”.答案A4.若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2❑√3,则2a+b+c的最小值为()A.❑√3-1B.❑√3+1C.2❑√3+2D.2❑√3-2解析因为a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2❑√3,所以a2+ab+ac+bc=4-2❑√3,所以4-2❑√3=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).当且仅当b=c时,等号成立.所以(2❑√3-2)2≤(2a+b+c)2,则2a+b+c≥2❑√3-2.答案D5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析令❑√ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2❑√ab+3,得t2≥2t+3.又t>0,所以,可得t≥3,即❑√ab≥3,所以ab≥9.答案ab≥96.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x×6=4(x+900x)≥4×2❑√900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.答案307.设a,b>0,a+b=5,则❑√a+1+❑√b+3的最大值为.解析由2ab≤a2+b2两边同时加上a2+b2,得(a+b)2≤2(a2+b2),两边同时开方即得a+b≤❑√2(a2+b2)(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号),从而有❑√a+1+❑√b+3≤❑√2(a+1+b+3)=❑√2×9=3❑√2(当且仅当a+1=b+3,即a=72,b=32时,取等号).答案3❑√28.求函数y=(x+4)(x+9)x的最值.解(1)当x>0时,y=13+x+36x≥13+2❑√x·36x=25,当且仅当x=36x,即x=6时取等号.所以当x=6时,ymin=25.(2)当x<0时,-x>0,-36x>0,(-x)+(-36x)≥2❑√(-x)(-36x)=12.所以y=13-[(-x)+(-36x)]≤13-12=1.当且仅当-x=-36x,即x=-6时取等号,所以当x=-6时,ymax=13-12=1.能力提升1.若正数a,b,c满足1a+4b+9c≤36a+b+c,则2b+3ca+b+c=.解析由1a+4b+9c≤36a+b+c,得(1a+4b+9c)(a+b+c)≤36,即1+ba+ca+4+4ab+4cb+9+9ac+9bc≤36,即ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc≤22.又因为ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=(ba+4ab)+(4cb+9bc)+(ca+9ac)≥22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.所以ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=22,得b=2a,c=3a.所以2b+3ca+b+c=4a+9aa+2a+3a=136.答案1362.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.解∵(x+y)(1x+ay)=1+a+yx+axy,又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2❑√yx·axy=2❑√a,∴1+a+yx+axy≥1+a+2❑√a,∴要使(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2❑√a≥9恒成立即可.∴(❑√a+1)2≥9,即❑√a+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.3.记F(x,y)=x+y-a(x+2❑√2xy),x,y∈R+.若对任意的x,y∈R+,恒有F(x,y)≥0,求a的取值范围.解由F(x,y)≥0,得x+y≥a(x+2❑√2xy).∵x>0,y>0,∴a≤x+yx+2❑√2xy恒成立.∴a的最大值为x+yx+2❑√2xy的最小值.∵2❑√2xy≤x+2y,∴x+yx+2❑√2xy≥x+yx+(x+2y)=12,当且仅当x=2y>0时,等号成立,即a的最大值为12,∴a∈(-∞,12].
