专题26平面向量的数量积及平面向量的应用1.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A.0B.1C.2D.解析|a－b|＝＝＝＝.答案D2.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝()A.2B.C.10D.5解析∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝.故选B.答案B3.向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为()A.45°B.60°C.90°D.120°解析∵(a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C.答案C4．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．25．已知AB和AC是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2AB－AC与CA的夹角是()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由题意知|AB|＝1，|AC|＝1，AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝，因为(2AB－AC)·CA＝2AB·CA＋AC2＝2×＋1＝0，所以cos〈2AB－AC，CA〉＝＝0，故2AB－AC与CA的夹角是90°。答案：C6．已知a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－B.C．－D.解析：向量λa＋b与a－2b垂直，则(λa＋b)·(a－2b)＝0，又因为a＝(3，－2)，b＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－。答案：C7.在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝()A.B.C.D.解析法一由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，E，F为BC的三等分点，不妨设AE＝AB＋AC，AF＝AB＋AC，因此AE·AF＝·＝AB2＋AC2＋AB·AC＝×4＋×1＝.故选B.法二由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，E，F为BC的三等分点，不妨设E，F，因此AE·AF＝×＋×＝，故选B.答案B8.已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.解析因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA2＋OA·AB＝|OA|2＋0＝32＝9.答案99.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________.解析设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cosθ＝0，解得cosθ＝，∴θ＝.答案10.已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.解析法一利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝.法二坐标法：OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝(－sinθ－1)2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.答案11.设非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，则的最小值是________.12.已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k，3)，AC＝(2，4).(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值.解(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量BC与AC平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.(2)∵BC＝(2－k，3)，∴CB＝(k－2，－3)，∴AB＝AC＋CB＝(k，1).若△ABC为直角三角形，则当A是直角时，AB⊥AC，即AB·AC＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，AB⊥BC，即AB·BC＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；当C是直角时，AC⊥BC，即AC·BC＝0，∴16－2k＝0，解得k＝8.综上得k的值为－2，－1，3，8.13.已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).14.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积.解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
